Forminvarianz der Lagrangegleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Forminvarianz der Lagrangegleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Forminvarianz der Lagrangegleichungen	Das Hamiltonsche Prinzip, Das d'Alembertsche Prinzip
	Variationsprinzipien Das hamiltonsche Wirkungsprinzip Eichtransformation der Lagrangefunktion Forminvarianz der Lagrangegleichungen	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=0$

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

$F,{{F}^{-1}}$

beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

${\tilde {L}}({{Q}_{k}},{{\dot {Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}},t)$ mit ${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$

sind Lösung der Lagrangegleichungen zu

$L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)$

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)}$ wegen ${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Nun:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

und auf der anderen Seite:

${\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)}$

Somit:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

Dabei bildet

${\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$

die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also

$\det {\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\neq 0$

Daher die Bedingung, dass

Sei

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

$F,{{F}^{-1}}$

beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

${\begin{aligned}&{{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t)\\&{{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det {\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Man sagt, die Variationsableitung

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$

ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.