Forminvarianz der Lagrangegleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Forminvarianz der Lagrangegleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = 0 \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = 0

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

F : {q_{k}} \to {Q_{k}}

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei

F : {q_{k}} \to {Q_{k}}

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

F, F^{- 1}

beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

{Q_{k} (t)}

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

\tilde{L} (Q_{k}, {\dot{Q}}_{k}, t) := L (f_{k} (Q_{i}, t), \sum_{i} \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{i}} {\dot{Q}}_{i} + \frac{\partial f_{k}}{\partial t}, t)

mit

\begin{matrix} f_{k} (Q_{i}, t) = q_{k} \\ \sum_{i} \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{i}} {\dot{Q}}_{i} + \frac{\partial f_{k}}{\partial t} = {\dot{q}}_{k} \end{matrix}

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

{q_{k} (t)}

sind Lösung der Lagrangegleichungen zu

L (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t)

Beweis:

\frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = \sum_{l = 1}^{f} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} \frac{\partial {\dot{q}}_{l}}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = \sum_{l = 1}^{f} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}})

wegen

\begin{matrix} f_{k} (Q_{i}, t) = q_{k} \\ \sum_{i} \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{i}} {\dot{Q}}_{i} + \frac{\partial f_{k}}{\partial t} = {\dot{q}}_{k} \end{matrix}

Nun:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = \sum_{l = 1}^{f} {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}})] \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} \frac{d}{d t} (\frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}})} \\ = \sum_{l = 1}^{f} {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}})] \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} (\frac{\partial {\dot{q}}_{l}}{\partial Q_{k}})} \end{matrix}

und auf der anderen Seite:

\frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_{k}} = \sum_{l = 1}^{f} (\frac{\partial L}{\partial q_{l}} \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} (\frac{\partial {\dot{q}}_{l}}{\partial Q_{k}}))

Somit:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_{k}} - \frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_{k}} = \sum_{l = 1}^{f} {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}})] \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} (\frac{\partial {\dot{q}}_{l}}{\partial Q_{k}}) - (\frac{\partial L}{\partial q_{l}} \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}} (\frac{\partial {\dot{q}}_{l}}{\partial Q_{k}}))} \\ = \sum_{l = 1}^{f} {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}})] \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} - (\frac{\partial L}{\partial q_{l}} \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}})} = \sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} {[\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{l}})] - (\frac{\partial L}{\partial q_{l}})} \end{matrix}

Dabei bildet

\frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}}

die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also

det \frac{\partial q_{l}}{\partial Q_{k}} \neq 0

Daher die Bedingung, dass

Sei

F : {q_{k}} \to {Q_{k}}

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

F, F^{- 1}

beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist

{Q_{k} (t)}

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

\begin{matrix} Q_{i} = F_{i} (q_{1}, ... q_{f}, t) \\ q_{k} = f_{k} (Q_{1}, ..., Q_{f}, t) m i t det \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{i}} \neq 0 \end{matrix}

Man sagt, die Variationsableitung

\frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial {\dot{Q}}_{k}} - \frac{\partial \tilde{L}}{\partial Q_{k}}

ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.

Forminvarianz der Lagrangegleichungen

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