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| Idee: | | Idee: |
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| f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung | | f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung |
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| * 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen). | | * 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen). |
| * Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung | | * Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung |
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| <math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math> | | :<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math> |
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| <math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math> | | :<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math> |
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| Beispiel: Zweikörperproblem | | Beispiel: Zweikörperproblem |
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| 2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) ( Zentralpotenzial). | | 2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial). |
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| Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung | | Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung |
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| # V(|r1-r2|) ist translationsinvariant. | | # V(|r1-r2|) ist translationsinvariant. |
| Somit ist der Impuls: | | Somit ist der Impuls: |
| <math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math> | | :<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math> |
| =konstant | | =konstant |
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| Der Schwerpunkt: | | Der Schwerpunkt: |
| <math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math> | | :<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math> |
| bewegt sich gleichförmig und geradlinig. | | bewegt sich gleichförmig und geradlinig. |
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| Dies folgt aus: | | Dies folgt aus: |
| <math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math> | | :<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math> |
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| Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden: | | Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden: |
| <math>\bar{P},\bar{R}</math> | | :<math>\bar{P},\bar{R}</math> |
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| # V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant: | | # V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant: |
| Damit ist der Drehimpuls | | Damit ist der Drehimpuls |
| <math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math> | | :<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math> |
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| Es sind drei weitere Integrationskonstanten | | Es sind drei weitere Integrationskonstanten |
| <math>\bar{l}</math> | | :<math>\bar{l}</math> |
| gefunden. | | gefunden. |
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| <math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math> | | :<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math> |
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| Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. | | Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. |
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| ====Impuls- und Drehimpulserhaltung====
| | This info is the cats pjamaas! |
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| Lagrange- Formulierung:
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| <math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>
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| Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{1}} \\
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| {{q}_{2}} \\
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| {{q}_{3}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> Schwerpunktskoordinate <math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{4}} \\
| |
| {{q}_{5}} \\
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| {{q}_{6}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| Relativkoordinate
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| Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
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| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| & L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei bezeichnet
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| <math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
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| den Abstand und
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| <math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
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| die relative Masse
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| <math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| <math>\bar{R}</math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
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| mit k= x,y,z
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| <math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
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| Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:
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| o.B.d.A:
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| <math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>
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| Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung
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| <math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| mit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:
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| <math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
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| (Rotationsinvarianz)
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| Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):
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| <math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>
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| Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
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| <math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
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| liegen in der Ebene senkrecht zu
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| <math>\bar{l}</math>
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| ( Im Schwerpunktsystem).
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| Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
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| <math>\begin{align}
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| & x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
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| & y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
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| \end{align}</math>
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| Somit:
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| <math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
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| Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
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| <math>\left( r,\phi \right)</math>
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| <math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>
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| <math>\phi </math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>
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| Hier: l = lz, da lx = ly =0
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| Also:
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| <math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| =====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====
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| Geometrische Interpretation von
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| <math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| :
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| Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
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| Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:
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| Für die Fläche gilt:
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| <math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>
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| Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:
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| <math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
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| ====Energieerhaltung und Bahngleichung====
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| Bestimmen wir die Lagranggleichung 2. Art für den radius r:
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\
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| & \frac{\partial L}{\partial r}=mr{{{\dot{\phi }}}^{2}}-V\acute{\ }(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Somit gilt:
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| <math>m\ddot{r}-mr{{\dot{\phi }}^{2}}+V\acute{\ }(r)=0</math>
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| Mit der Zentrifugalkraft
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| <math>mr{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
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| Die Zeitableitung des Winkels können wir eliminieren durch die Bewegungskonstante l:
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| <math>\dot{\phi }=\frac{l}{m{{r}^{2}}}</math>
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| <math>m\ddot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}+V\acute{\ }(r)=0</math>
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| # '''Integral: '''Trick: Wir müssen die Gleichung auf zeitliche Änderung bringen. Zu diesem zweck multiplizieren wir alles mit
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| <math>\dot{r}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & m\ddot{r}\dot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}+\dot{r}V\acute{\ }(r)=0 \\
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| & m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2}{{{\dot{r}}}^{2}} \right) \\
| |
| & \frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( -\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}} \right) \\
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| & \dot{r}V\acute{\ }(r)=\frac{d}{dt}V(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Somit können wir Integration über die zeit ausführen und es ergibt sich:
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| <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)=const=E</math>
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| Energieerhaltung mit
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| <math>T=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{{{m}^{2}}{{r}^{2}}} \right)=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)</math>
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| <u>'''Andere Interpretation'''</u>
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| Die Bewegung der beiden Körper ist ebenfalls als eindimensionale Bewegung in einem '''effektiven'''
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| '''Radialpotenzial'''
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| <math>\tilde{V}(r):=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>
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| Dabei wird
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| <math>\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math>
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| als Zentrifugalbarriere bezeichnet.
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| Es ergibt sich:
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| <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\tilde{V}(r)=const=E</math>
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| Somit:
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| <math>\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}=\frac{dr}{dt}</math>
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| Integration liefert:
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| <math>\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{dt\acute{\ }}}</math>
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| Es sind somit t( r) und r( t) berechenbar.
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| Der Winkel folgt dann aus:
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| <math>\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{mr{{(t)}^{2}}}</math>
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| durch Einsetzen:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{{}}\frac{l}{m{{r}^{2}}(t\acute{\ })}dt\acute{\ }</math>
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| Es ergibt sich also:
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| <math>\phi (t)</math>
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| .
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| Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:
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| <math>\frac{dr}{d\phi }=\frac{{\dot{r}}}{{\dot{\phi }}}=\frac{m{{r}^{2}}\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}}{l}={{r}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}</math>
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| Es folgt:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}</math>
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| Daraus erhält man als Bahngleichung
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| <math>\phi (r)</math>
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| bzw.
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| <math>r(\phi )</math>
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| .
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| Die Bahngleichung.
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| ====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze====
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| Betrachten wir speziell das Gravitationspotenzial als Wechselwirkung:
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| <math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math> mit <math>r=|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}|</math>
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| Somit ergibt sich ein effektives Radialpotenzial gemäß
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| <math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad k:=\gamma {{m}_{1}}m>0</math>
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| ALs Grenzwert folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & r\to 0:\tilde{V}(r)=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad \to \infty \\
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| & r\to \infty :\tilde{V}(r)=-\frac{k}{r}\quad \to 0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| Differenziation findet ein Minimum:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\
| |
| & \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math> Wegen <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math>
| |
| ist eine Bewegung nur für
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| <math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math>
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| möglich. Also muss
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| <math>E\ge \tilde{V}(r)</math>
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| Es gilt:
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| <math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
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| : Bahnen sind geschlossen ( Ellipse, Spezialfall: Kreis)
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| <math>E>0</math>
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| Bahnen sind offen. ( Hyperbeln)
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| Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt.
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| Das Potenzial hat die folgende Gestalt:
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| Für
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| <math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
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| Sind die Umkehrpunkte durch
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| <math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad =E</math>
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| bestimmt ( quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen):
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| <math>{{r}_{\min /\max }}=\frac{1}{2|E|}\left( k\mp \sqrt{{{k}^{2}}-\frac{2{{l}^{2}}|E|}{m}} \right)</math>
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| Für E>0 gibt es nur noch eine Lösung für r, die positiv und damit physikalisch sinnvoll ist.
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| Aus
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| gewinnt man den inneren Umkehrpunkt:
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| Die Bahngleichung kann nun explizit berechnet werden:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}</math>
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| Dieses Integral ist nicht leicht zu berechnen, jedoch lediglich ein mathematisches Problem. Es gelingt mit einer geschickten Substitution:
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| Zunächst soll der Ausdruck unter der Wurzel quadratisch ergänzt werden:
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| <math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math> mit <math>\begin{align}
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| & -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\
| |
| & D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dabei gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}=\tilde{V}({{r}_{o}}) \\
| |
| & \Rightarrow D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right)\ge 0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Substitution:
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| <math>\begin{align}
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| & \cos \vartheta \acute{\ }:=\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)\Rightarrow \frac{d\cos \vartheta }{dr\acute{\ }}=-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
| |
| & \frac{d\cos \vartheta }{d\vartheta }=-\sin \vartheta \acute{\ }\Rightarrow -\sin \vartheta d\vartheta =d\cos \vartheta \\
| |
| & -\sin \vartheta \acute{\ }d\vartheta =-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Somit folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & \phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right]}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]} \\
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| & \int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]}=\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }\sin \vartheta \acute{\ }\frac{1}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\vartheta }\acute{\ }}=}\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }=\vartheta -{{\vartheta }_{0}}} \\
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| & \vartheta -{{\vartheta }_{0}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Also in Summary:
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| <math>\phi -{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>
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| Eine der Integrationskonstanten,
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| <math>{{\phi }_{o}}</math> oder <math>{{r}_{o}}</math>
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| kann frei eingesetzt werden.
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| Wir wählen den Winkel willkürlich:
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| Mit der vereinfachenden Wahl von
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| <math>{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>
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| ergibt sich:
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| <math>\begin{align}
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| & \phi (r)=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
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| & \Rightarrow \frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right) \\
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| & mit\quad \varepsilon :=\sqrt{D}\frac{{{l}^{2}}}{mk}=\sqrt{1+\frac{2E{{l}^{2}}}{m{{k}^{2}}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Wesentlich ist unsere Bahngleichung:
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| <math>\frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right)</math>
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| Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & \varepsilon >1\cong E>0\quad Hyperbel(offene\ Bahn) \\
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| & \varepsilon =1\cong E=0\quad Parabel(offene\ Bahn) \\
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| & \varepsilon <1\cong -\frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}<E<0\quad Ellipse(geschlossene\ Bahn) \\
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| \end{align}</math>
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| Für da zweidimensionale Problem ist die Umrechnung auf kartesische Korodinaten sehr einfach:
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| Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & \cos \phi =\frac{x}{r} \\
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| & \sin \phi =\frac{y}{r} \\
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| & r=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Für
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| <math>\varepsilon <1</math>
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| folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\left( \frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)x+\varepsilon \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
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| & \frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}{{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{2}}{{\left( x+\frac{{{l}^{2}}}{mk}\frac{\varepsilon }{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
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| \end{align}</math>
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| Dies kann vereinfacht werden zu:
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| <math>\frac{{{\left( x+e \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1</math>
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| mit der Exzentrizität
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| <math>e=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}</math>
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| Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung.
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| Die Hauptachsen lauten:
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| <math>\begin{align}
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| & a=\frac{{{l}^{2}}}{mk(1-{{\varepsilon }^{2}})}=\frac{k}{2|E|} \\
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| & b=\frac{{{l}^{2}}}{mk\sqrt{1-{{\varepsilon }^{2}}}}=\frac{l}{\sqrt{2m|E|}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die relative Exzentrizität:
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| <math>\varepsilon =\frac{e}{a}=\sqrt{1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}</math>
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| e, die absolute Exzentrizität ist der absolute Abstand zwischen Mittelpunkt der Ellipse und einem Brennpunkt.
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| =====Keplersches Gesetz=====
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| Folgt also aus der Bewegungsgleichung mit Gravitationspotenzial bei negativen Energien:
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| Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.
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| =====Keplersches Gesetz=====
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| T²~a³
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| <u>'''Beweis:'''</u>
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| Für die Fläche einer Ellipse gilt:
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| <math>F=\pi ab</math>
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| Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden ( Flächensatz), so gilt:
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| <math>\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
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| Es ergibt sich der folgende Zusammenhang mit der Umlaufzeit:
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| <math>\int\limits_{0}^{T}{dt}\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}T=F=\pi ab</math>
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| Aus der Herleitung des ersten Keplerschen Gesetzes ist bekannt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{{{b}^{2}}}{a}=\frac{{{l}^{2}}}{mk}\Rightarrow b=\frac{l}{\sqrt{mk}}\sqrt{a} \\
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| & T=\frac{2m\pi ab}{l}=\frac{2\sqrt{m}\pi {{a}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{k}} \\
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| & \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}m}{k} \\
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| \end{align}</math>
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| Die zweiten Potenzen der Umlaufdauer sind somit nicht exakt proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen, da auch die Masse des Planeten noch eingeht:
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| <math>\begin{align}
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| & k=\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}} \\
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| & m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\
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| & \frac{m}{k}=\frac{1}{\gamma \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Falls die Planeten jedoch deutlich leichter sind als die Zentralgestirne, so gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{m}{k}\approx \frac{1}{\gamma {{m}_{2}}} \\
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| & \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}\approx \frac{4{{\pi }^{2}}}{\gamma {{m}_{2}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Leitet man dies aus dem Kraftansatz ab, so steckt der Fehler der Vernachlässigung der Planetenmasse in der Annahme einer kreisförmigen Bewegung um das Zentralgestirn. Das Ergebnis ist ebenso fehlerbelastet.
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