Das Zweikörperproblem

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

• 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
• Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

$I_r(q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...{\dot{q}}_f)=c_{r}r=1,...2f$

So wäre das Problem vollständig gelöst:

$q_k=q_k(c_1,...,c_{2f},t)k=1,...,f$

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

Erhaltungssätze

1. V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.

Somit ist der Impuls:

$\overline{P}={\overline{p}}_1+{\overline{p}}_2$

=konstant

Der Schwerpunkt:

$\overline{R}=\frac{1}{M}\overline{P}t+{\overline{R}}_0$

bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:

$M\dot{\overline{R}}=\overline{P}=const$

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:

$\overline{P},\overline{R}$

1. V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:

Damit ist der Drehimpuls

$\overline{l}=m_1{\overline{r}}_1\times {\overline{v}}_1+m_2{\overline{r}}_2\times {\overline{v}}_2=const$

Es sind drei weitere Integrationskonstanten

$\overline{l}$

gefunden.

1. Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

$E=\frac{1}{2}{m}_1{{\overline{v}}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_2{{\overline{v}}_2}^2+V\left(|{\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2|\right)=const$

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

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