Poisson- Klammern

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Poisson- Klammern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 6) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g(\overline{q},\overline{p},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn

$\overline{q}(t),\overline{p}(t)$

im Phasenraum

$\mathrm{\Gamma }$

$\frac{dg(\overline{q},\overline{p},t)}{dt}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial g}{\partial p_i}{\dot{p}}_i)+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})+\frac{\partial g}{\partial t}=:\{g,H\}+\frac{\partial g}{\partial t}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen

$g(\overline{q},\overline{p},t)$ und $f(\overline{q},\overline{p},t)$

heißt

$\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i})=:\{g,f\}$

Poisson- Klammer

Eigenschaften

1. die Poissonklammer ist eine schiefsymmetrische nicht entartete Bilinearform. Das bedeutet jedoch, sie definiert ein symplektisches Skalarprodukt im Phasenraum:

$\{g,f\}=({\overline{f}}_x,{\overline{g}}_x)={{\overline{f}}_x}^{T}J{\overline{g}}_x=\sum _{i,k=1}^f\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}{J}_{ik}\frac{\partial g}{\partial x_k}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial q}& \frac{\partial f}{\partial p}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial g}{\partial q}\\ \frac{\partial g}{\partial q}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial q}& \frac{\partial f}{\partial p}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial g}{\partial p}\\ -\frac{\partial g}{\partial q}\\ \end{array}\right)$

Aufgrund der schiefsymmetrischen Struktur und der Bilinearität sowie der Nichtentartung und der daraus folgenden Selbstorthogonalität gilt:

1.Schiefsymmetrie:

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

2.bilinear:

$\{f,{\lambda }_1{g}_1+{\lambda }_2{g}_2\}={\lambda }_1\{f,g_1\}+{\lambda }_2\{f,g_2\}$

3.nichtentartet:

$(f,g)=0\mathrm{\forall }g\Rightarrow f=const.$

(Nullelement, wegen

${\overline{f}}_{,x}=0$)

Nebenbemerkung: Es gilt:

$\{f,f\}=0\mathrm{\forall }f$

Also Selbstorthogonalität

Weiter gilt die Produktregel (Leibnizregel):

$\{f,gh\}=g\{f,h\}+\{f,g\}h$

Die Jacobi- Identität:

$\{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}$

Weiter gilt:

$\frac{\partial g}{\partial q_k}=\{g,p_k\}\frac{\partial g}{\partial p_k}=-\{g,q_k\}$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

Beweis: Trafo: x→y

Die Jacobi- Determinante

$M_{\alpha \beta }=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial y_{\beta }}$

ist symplektische Matrix,

das heißt, es gilt:

$M^{T}JM=J\iff M^{-1}J{\left(M^{-1}\right)}^T=J$,

da ja 

$M^{-1}J{\left(M^{-1}\right)}^T=J^{-1}{M}^{T}JJ{\left(M^{-1}\right)}^T=-J^{-1}{M}^T{\left(M^{-1}\right)}^T=-J^{-1}=J$

Nun muss man umrechnen von :

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum _k\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_i}=\sum _k{M_{ki}}^{-1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\iff {\overline{f}}_x={\left(M^{-1}\right)}^T{\overline{f}}_y\iff {{\overline{f}}_x}^T={{\overline{f}}_y}^T\left(M^{-1}\right)\\ & {{\overline{f}}_x}^{T}J{\overline{g}}_x={{\overline{f}}_y}^T\left(M^{-1}\right)J{\left(M^{-1}\right)}^T{\overline{g}}_y={{\overline{f}}_y}^{T}J{\overline{g}}_y\\ \end{array}$

Also:

$({\overline{f}}_x,{\overline{g}}_x)=({\overline{f}}_y,{\overline{g}}_y)$

Für nicht explizit zeitabhängige Observable

$g(\overline{q},\overline{p})$

gilt:

$\frac{dg}{dt}=\{g,H\}$

g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:

$\{g,H\}=0$

Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls:

$g=q_k,g=p_k$

$\begin{array}{rl}& {\dot{q}}_k=\{q_k,H\}\\ & {\dot{p}}_k=\{p_k,H\}\\ \end{array}$

So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:

$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_k=\{x_k,H\}=\sum _{i,j=1}^f\frac{\partial x_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial H}{\partial x_j}=\sum _{j=1}^f{J}_{kj}\frac{\partial H}{\partial x_j}\\ & also:\dot{\overline{x}}=J{\overline{H}}_{,x}\\ \end{array}$

Fundamentale Poisson- Klammern:

$\begin{array}{rl}& \{q_k,q_j\}=0\\ & \{p_k,p_j\}=0\\ & \{q_k,p_j\}={\delta }_{kj}\\ \end{array}$

Kompakt:

$\{x_k,x_j\}=\sum _{l,m}\frac{\partial x_k}{\partial x_l}{J}_{lm}\frac{\partial x_j}{\partial x_m}=J_{kj}\cong \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da

$M^{T}JM=J$

Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation

$(\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})$

ist genau dann kanonisch, wenn :

$\begin{array}{rl}& \{Q_k,Q_j\}=0\\ & \{P_k,P_j\}=0\\ & \{Q_k,P_j\}={\delta }_{kj}\\ \end{array}$

Beweis: Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos:

$\frac{\partial M}{\partial t}=0\iff \overline{H}=H$

Bewegungsgleichung:

${\dot{y}}_k=\{y_k,H\}=\sum _{i,j=1}^f\frac{\partial y_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial H}{\partial x_j}=\sum _{j=1}^f{J}_{kj}\frac{\partial H}{\partial x_j}$ Wegen $({\overline{f}}_x,{\overline{g}}_x)=({\overline{f}}_y,{\overline{g}}_y)$

kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:

${\dot{y}}_k=\{y_k,H\}=\sum _{i,j,l=1}^f\frac{\partial y_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\frac{\partial y_l}{\partial x_j}=\sum _{l=1}^f\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\sum _{i,j=1}^f\frac{\partial y_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial y_l}{\partial x_j}=\sum _{l=1}^f\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\{y_k,y_l\}$

Also folgt:

$\begin{array}{rl}& {\dot{y}}_k=\{y_k,H\}=\sum _{i,j,l=1}^f\frac{\partial y_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\frac{\partial y_l}{\partial x_j}=\sum _{l=1}^f\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\sum _{i,j=1}^f\frac{\partial y_k}{\partial x_i}{J}_{ij}\frac{\partial y_l}{\partial x_j}=\sum _{l=1}^f\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\{y_k,y_l\}\\ & {\dot{y}}_k=\sum _{l=1}^f{J}_{kl}\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}\iff J_{kl}=\{y_k,y_l\}\\ \end{array}$

Mit der Bedeutung

${\dot{y}}_k=\sum _{l=1}^f{J}_{kl}\frac{\partial \overline{H}}{\partial y_l}$

Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten → Trafo kanonisch

$J_{kl}=\{y_k,y_l\}$

 fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen!

Folgende Aussagen sind äquivalent:

$\overline{x}=\left(\begin{array}{c}\overline{q}\\ \overline{p}\\ \end{array}\right)\to \overline{y}=\left(\begin{array}{c}\overline{Q}\\ \overline{P}\\ \end{array}\right)$

ist kanonisch

$\iff$

die kanonischen Gleichungen

$\dot{\overline{x}}=J{\overline{H}}_{,x}$

sind invariant

$\iff$

die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g

$\iff$

die fundamentalen Poissonklammern

$J_{kl}=\{x_k,x_l\}$

sind ivariant

$\iff$

die Jacobi- Matrix

$M_{\alpha \beta }=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}$

ist symplektisch, das heißt

$M^{T}JM=J$

$\iff$

es existiert eine Erzeugende!

Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen

$g(\overline{q},\overline{p},t)$

zum qm. Operator:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g:H→H}

mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:

$\{f,g\}\to \frac{1}{i\hslash }[f,g]$

zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

$\begin{array}{rl}& \{q_k,q_j\}=0\to [q_k,q_j]=0\\ & \{p_k,p_j\}=0\to [p_k,p_j]=0\\ & \{q_k,p_j\}={\delta }_{kj}\to [q_k,p_j]=i\hslash {\delta }_{kj}\\ \end{array}$

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

$\begin{array}{rl}& \frac{dg(\overline{q},\overline{p},t)}{dt}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial g}{\partial p_i}{\dot{p}}_i)+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})+\frac{\partial g}{\partial t}=:\{g,H\}+\frac{\partial g}{\partial t}\\ & \to \frac{dg}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[g,H]+\frac{\partial g}{\partial t}\\ \end{array}$

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.