Poisson- Klammern

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Poisson- Klammern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 6) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Poisson- Klammern	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn

${\bar {q}}(t),{\bar {p}}(t)$

im Phasenraum

$\Gamma$

${\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen

$g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ und $f({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

heißt

$\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}=:\left\{g,f\right\}$

Poisson- Klammer

Eigenschaften

1. die Poissonklammer ist eine schiefsymmetrische nicht entartete Bilinearform. Das bedeutet jedoch, sie definiert ein symplektisches Skalarprodukt im Phasenraum:

$\left\{g,f\right\}=\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)={{\bar {f}}_{x}}^{T}J{{\bar {g}}_{x}}=\sum \limits _{i,k=1}^{f}{\left({\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ik}}{\frac {\partial g}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial q}}&{\frac {\partial f}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial g}{\partial q}}\\{\frac {\partial g}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial q}}&{\frac {\partial f}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial g}{\partial p}}\\-{\frac {\partial g}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)$

Aufgrund der schiefsymmetrischen Struktur und der Bilinearität sowie der Nichtentartung und der daraus folgenden Selbstorthogonalität gilt:

1.Schiefsymmetrie:

$\left\{f,g\right\}=-\left\{g,f\right\}$

2.bilinear:

$\left\{f,{{\lambda }_{1}}{{g}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{g}_{2}}\right\}={{\lambda }_{1}}\left\{f,{{g}_{1}}\right\}+{{\lambda }_{2}}\left\{f,{{g}_{2}}\right\}$

3.nichtentartet:

$\left(f,g\right)=0\forall g\Rightarrow f=const.$

(Nullelement, wegen

${{\bar {f}}_{,x}}=0$)

Nebenbemerkung: Es gilt:

$\left\{f,f\right\}=0\forall f$

Also Selbstorthogonalität

Weiter gilt die Produktregel (Leibnizregel):

$\left\{f,gh\right\}=g\left\{f,h\right\}+\left\{f,g\right\}h$

Die Jacobi- Identität:

$\left\{f,\left\{g,h\right\}\right\}=\left\{\left\{f,g\right\},h\right\}+\left\{g,\left\{f,h\right\}\right\}$

Weiter gilt:

${\frac {\partial g}{\partial {{q}_{k}}}}=\left\{g,{{p}_{k}}\right\}\quad \quad {\frac {\partial g}{\partial {{p}_{k}}}}=-\left\{g,{{q}_{k}}\right\}$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

Beweis: Trafo: x→y

Die Jacobi- Determinante

${{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}}$

ist symplektische Matrix,

das heißt, es gilt:

${{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=J$,

da ja 

${{M}^{-1}}J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J$

Nun muss man umrechnen von :

${\begin{aligned}&{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}=\sum \limits _{k}{{\frac {\partial f}{\partial {{y}_{k}}}}{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}=}\sum \limits _{k}{{{M}_{ki}}^{-1}{\frac {\partial f}{\partial {{y}_{k}}}}\Leftrightarrow {{\bar {f}}_{x}}={{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{\bar {f}}_{y}}\Leftrightarrow {{\bar {f}}_{x}}^{T}={{\bar {f}}_{y}}^{T}\left({{M}^{-1}}\right)}\\&{{\bar {f}}_{x}}^{T}J{{\bar {g}}_{x}}={{\bar {f}}_{y}}^{T}\left({{M}^{-1}}\right)J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{\bar {g}}_{y}}={{\bar {f}}_{y}}^{T}J{{\bar {g}}_{y}}\\\end{aligned}}$

Also:

$\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)=\left({{\bar {f}}_{y}},{{\bar {g}}_{y}}\right)$

Für nicht explizit zeitabhängige Observable

$g({\bar {q}},{\bar {p}})$

gilt:

${\frac {dg}{dt}}=\left\{g,H\right\}$

g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:

$\left\{g,H\right\}=0$

Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls:

$g={{q}_{k}},g={{p}_{k}}$

${\begin{aligned}&{{\dot {q}}_{k}}=\left\{{{q}_{k}},H\right\}\\&{{\dot {p}}_{k}}=\left\{{{p}_{k}},H\right\}\\\end{aligned}}$

So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:

${\begin{aligned}&{{\dot {x}}_{k}}=\left\{{{x}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}\\&also:{\dot {\bar {x}}}=J{{\bar {H}}_{,x}}\\\end{aligned}}$

Fundamentale Poisson- Klammern:

${\begin{aligned}&\left\{{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Kompakt:

$\left\{{{x}_{k}},{{x}_{j}}\right\}=\sum \limits _{l,m}{{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{l}}}}{{J}_{lm}}{\frac {\partial {{x}_{j}}}{\partial {{x}_{m}}}}={{J}_{kj}}\cong \left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)}$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da

${{M}^{T}}JM=J$

Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation

$\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

ist genau dann kanonisch, wenn :

${\begin{aligned}&\left\{{{Q}_{k}},{{Q}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{P}_{k}},{{P}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{Q}_{k}},{{P}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Beweis: Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos:

${\frac {\partial M}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\bar {H}}=H$

Bewegungsgleichung:

${{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}$ Wegen $\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)=\left({{\bar {f}}_{y}},{{\bar {g}}_{y}}\right)$

kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:

${{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j,l=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}$

Also folgt:

${\begin{aligned}&{{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j,l=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}\\&{{\dot {y}}_{k}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\Leftrightarrow {{J}_{kl}}=\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}\\\end{aligned}}$

Mit der Bedeutung

${{\dot {y}}_{k}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}}$

Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten → Trafo kanonisch

${{J}_{kl}}=\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}$

 fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen!

Folgende Aussagen sind äquivalent:

${\bar {x}}=\left({\begin{matrix}{\bar {q}}\\{\bar {p}}\\\end{matrix}}\right)\to {\bar {y}}=\left({\begin{matrix}{\bar {Q}}\\{\bar {P}}\\\end{matrix}}\right)$

ist kanonisch

$\Leftrightarrow$

die kanonischen Gleichungen

${\dot {\bar {x}}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$

sind invariant

$\Leftrightarrow$

die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g

$\Leftrightarrow$

die fundamentalen Poissonklammern

${{J}_{kl}}=\left\{{{x}_{k}},{{x}_{l}}\right\}$

sind ivariant

$\Leftrightarrow$

die Jacobi- Matrix

${{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}$

ist symplektisch, das heißt

${{M}^{T}}JM=J$

$\Leftrightarrow$

es existiert eine Erzeugende!

Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen

$g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

zum qm. Operator:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g:H→H}

mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:

$\left\{f,g\right\}\to {\frac {1}{i\hbar }}\left[f,g\right]$

zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left\{{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left[{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right]=i\hbar {{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

${\begin{aligned}&{\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\&\to {\frac {dg}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[g,H\right]+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.