Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

$\overline{H}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

$M_2(\overline{q},\overline{P},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

$\begin{array}{rl}& (\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})\\ & H(\overline{q},\overline{p},t)\to \overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H+\frac{\partial S}{\partial t}\\ \end{array}$ mit $\begin{array}{rl}& p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & Q_k=\frac{\partial S}{\partial P_k}\\ \end{array}$

So dass:

$\overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H(q_1,...,q_f,\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für

$\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:

$\overline{q},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& {\dot{P}}_k=-\frac{\partial H}{\partial Q_k}\equiv 0\Rightarrow P_k={\alpha }_k=cons\\ & {\dot{Q}}_k=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_k}\equiv 0\Rightarrow Q_k={\beta }_k=const\\ \end{array}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

$\begin{array}{rl}& H(\overline{q},\overline{p},t)\\ & p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial \overline{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0Ham.Jac.DGL\\ \end{array}$

1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

$\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

1. Aus der Erzeugenden

$S(\overline{q},\overline{\alpha },t)$

folgt:

$Q_k=\frac{\partial S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k}={\beta }_k$

mit der implizierten Umkehrung:

$q_j=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },t)$

möglich wegen

$\det \frac{{\partial }^{2}S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k\partial q_l}\ne 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4.

$p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}=p_j(\overline{q},\overline{\alpha },t)=p_j(\overline{q}(\overline{\alpha },\overline{\beta }),\overline{\alpha },t)$

5. Bestimmung von

$\overline{\alpha },\overline{\beta }$

aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.):

$q_j(0)=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

In vier (4.):

$p_j(0)=p_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overline{\alpha }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ & \overline{\beta }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ \end{array}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit

$q_j(t)$ und $p_j(t)$

bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

$\begin{array}{rl}& \frac{dS}{dt}=\sum _j\frac{\partial S}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}\\ & \frac{\partial S}{\partial t}=\overline{H}-H=-H\\ & \frac{dS}{dt}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j-H=L\\ & \Rightarrow S=\int Ldt\\ \end{array}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1.

$\begin{array}{rl}& H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2\\ & S(q,P,t)\\ \end{array}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit

$\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

2. Lösungsansatz:

$S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)$

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const$

$V(t)=-\alpha t+V_0$

Es folgt:

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2=m^2{\omega }^2(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)\\ & W=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}\\ \end{array}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t+V_0$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega [\frac{q}{2}\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}+\frac{\alpha }{m{\omega }^2}\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)]$

3.

$\begin{array}{rl}& Q=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }\right)=-t+\frac{1}{\omega }\int dq{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}^{-\frac{1}{2}}=\beta \\ & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)\\ & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (t+\beta ))\\ \end{array}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to (Dimension: Zeit)!

4.

$p=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2}=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (t+\beta ))$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0!

$p(0)=0,q(0)=q_0\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow q_0=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (\beta ))\\ & 0=p_0=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (\beta ))\\ & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow q_0=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}}\\ & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{\omega }^2{q_0}^2=E\\ \end{array}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E (Energie) , Q= to (Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch

$S(q,P,t)$

erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

$\frac{\partial H}{\partial t}=0\iff \frac{dH}{dt}=\{H,H\}=0$

H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f})+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Lösungsansatz:

$S(\overline{q},\overline{P},t)=W(\overline{q};\overline{P})-Et$

Somit folgt:

$H(\overline{q},\frac{\partial W}{\partial q_1},...,\frac{\partial W}{\partial q_f})=E$

Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W(\overline{q};\overline{P})$

heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo (im engeren Sinn) aufgefasst werden:

$\begin{array}{rl}& p_j=\frac{\partial W}{\partial q_j}\\ & Q_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ & \overline{H}=H=E\\ & \Rightarrow {\dot{Q}}_j=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_j}=\frac{\partial E}{\partial {\alpha }_j}={\omega }_j\Rightarrow Q_j={\omega }_{j}t+{\beta }_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ \end{array}$

Bezug zur Quantenmechanik

• Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V(\overline{q}),\overline{q}\in R^3$,

gilt auch für

$V(\overline{q}),\overline{q}\in R^f$

$W(\overline{q})=const$

sind dann Flächen im R³:

Dabei sind

$S(\overline{q},t)=W(\overline{q})-Et$

Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

$\overline{u}\approx \mathrm{\nabla }W(\overline{q})$ mit $\overline{u}\mathrm{\perp }W(\overline{q})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

$\overline{p}=\mathrm{\nabla }W(\overline{q})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p (Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H(\overline{q},\mathrm{\nabla }W)=\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }W(\overline{q}))}^2+V(\overline{q})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik (Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen (gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(\overline{r}))\mathrm{\Psi }(\overline{r})=E\mathrm{\Psi }(\overline{r})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.

$\mathrm{\Psi }(\overline{r})=e^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$

als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

$\begin{array}{rl}& \overline{q}\to \overline{r}\\ & \overline{p}\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\\ \end{array}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\mathrm{\Delta }{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}=\mathrm{\nabla }\frac{i}{\hslash }\left(\mathrm{\nabla }W{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}\right)\cong -\frac{1}{{\hslash }^2}{\left(\mathrm{\nabla }W\right)}^2{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein (optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik (Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.