Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

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Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:


H¯0


Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:


M2(q¯,P¯,t)=:S


dann suchen wir die folgende Trafo:


(q¯,p¯)(Q¯,P¯)H(q¯,p¯,t)H¯(Q¯,P¯)=H+St mit pk=SqkQk=SPk


So dass:


H¯(Q¯,P¯)=H(q1,...,qf,Sq1,...,Sqf,t)+St=0


Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für

S(q¯,α¯,t)αk=Pk=const.


Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:

q¯,t


Die kanonischen Gleichungen lauten:


P˙k=HQk0Pk=αk=consQ˙k=H¯Pk0Qk=βk=const


Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

H(q¯,p¯,t)pk=SqkH(q¯,Sq¯,t)+St=0Ham.Jac.DGL
  1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:
S(q¯,α¯,t)αk=Pk=const.
  1. Aus der Erzeugenden
S(q¯,α¯,t)

folgt:


Qk=S(q¯,α¯,t)αk=βk


mit der implizierten Umkehrung:


qj=qj(α¯,β¯,t)


möglich wegen


det2S(q¯,α¯,t)αkql0


Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4.

pj=Sqj=pj(q¯,α¯,t)=pj(q¯(α¯,β¯),α¯,t)


5. Bestimmung von

α¯,β¯

aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.):

qj(0)=qj(α¯,β¯,0)


In vier (4.):

pj(0)=pj(α¯,β¯,0)


α¯(q¯(0),p¯(0))β¯(q¯(0),p¯(0))


Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit

qj(t) und pj(t)

bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

dSdt=jSqjq˙j+St=jpjq˙j+StSt=H¯H=HdSdt=jpjq˙jH=LS=Ldt


S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1.

H=p22m+m2ω2q2S(q,P,t)


H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit

S(q,P,t)q=p


Hamilton- Jacobi DGL:


12m(S(q,P,t)q)+m2ω2q2+St=0


2. Lösungsansatz:


S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)


Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter


12m(dWdq)2+m2ω2q2=dVdt


Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:


12m(dWdq)2+m2ω2q2=dVdt=αconst


V(t)=αt+V0


Es folgt:


(dWdq)2=m2ω2(2αmω2q2)W=mωdq(2αmω2q2)


Also:


S(q,α,t)=mωdq(2αmω2q2)αt+V0


Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:


S(q,α,t)=mωdq(2αmω2q2)αt=αt+mω[q2(2αmω2q2)+αmω2arcsin(qmω22|α|)]

3.

Q=(S(q,P,t)α)=t+1ωdq(2αmω2q2)12=βQ=β=t+1ωarcsin(qmω22|α|)q=1ω2αmsin(ω(t+β))


Mit der Nebenbedingung, dass Q=to (Dimension: Zeit)!

4.

p=(S(q,P,t)q)=dWdq=mω2αmω2q2=2αmcos(ω(t+β))


5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0!


p(0)=0,q(0)=q00


q0=1ω2αmsin(ω(β))0=p0=2αmcos(ω(β))β=π2ωq0=2αmω2α=m2ω2q02=E


Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E (Energie) , Q= to (Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch

S(q,P,t)

erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H


Ht=0dHdt={H,H}=0

H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:


H(q¯,Sq1,...,Sqf)+St=0


Lösungsansatz:


S(q¯,P¯,t)=W(q¯;P¯)Et


Somit folgt:


H(q¯,Wq1,...,Wqf)=E

Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen


W(q¯;P¯)

heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo (im engeren Sinn) aufgefasst werden:


pj=WqjQj=WPjH¯=H=EQ˙j=H¯Pj=Eαj=ωjQj=ωjt+βj=WPj


Bezug zur Quantenmechanik

  • Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
V(q¯),q¯R3,
gilt auch für
V(q¯),q¯Rf
W(q¯)=const

sind dann Flächen im R³:

Dabei sind

S(q¯,t)=W(q¯)Et

Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit


u¯W(q¯) mit u¯W(q¯)=const


Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:


p¯=W(q¯)
Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p (Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:


H(q¯,W)=12m(W(q¯))2+V(q¯)=E


Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik (Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen (gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:


(22mΔ+V(r¯))Ψ(r¯)=EΨ(r¯)


links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.

Ψ(r¯)=eiW(r¯)

als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:


q¯r¯p¯i


Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:


ΔeiW(r¯)=i(WeiW(r¯))12(W)2eiW(r¯)


Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein (optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik (Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.