Kontinuitätsgleichung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:

$Q(t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)$

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

$\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=-\underset{\partial V}{\oint }\delta I$

$\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left|v\right|dt\left|df\right|\cos \alpha }{dt}=\rho \overline{v}d\overline{f}$

Also gerade die Ladung, die durch $d\overline{f}$pro zeit aus V herausströmt

Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: $\overline{j}(\overline{r},t):=\rho (\overline{r},t)\overline{v}(\overline{r},t)$

$\Rightarrow \frac{d}{dt}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=-\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{j}(\overline{r},t)=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)$

(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als lokaler Erhaltungssatz:

$\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)=0$

Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}(\overline{r},t)=0$

Aber: natürlich muss deswegen nicht $\overline{j}(\overline{r},t)=0$ gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!