Kontinuitätsgleichung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:

Q (t) = \int_{V}^{} d^{3} r ρ (\bar{r}, t)

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

\frac{d}{d t} Q (t) = \frac{d}{d t} \int_{V}^{} d^{3} r ρ (\bar{r}, t) = - \oint_{\partial V} δ I

δ I = \frac{ρ d V}{d t} = \frac{ρ | v | d t | d f | \cos α}{d t} = ρ \bar{v} d \bar{f}

Also gerade die Ladung, die durch $d \bar{f}$ pro zeit aus V herausströmt

Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:

\bar{j} (\bar{r}, t) := ρ (\bar{r}, t) \bar{v} (\bar{r}, t)

\Rightarrow \frac{d}{d t} \int_{V}^{} d^{3} r ρ (\bar{r}, t) = - \oint_{\partial V} d \bar{f} \bar{j} (\bar{r}, t) = - \int_{V}^{} d^{3} r \nabla \cdot \bar{j} (\bar{r}, t)

(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als lokaler Erhaltungssatz:

\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} ρ (\bar{r}, t) + \nabla \cdot \bar{j} (\bar{r}, t) = 0

Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:

\nabla \cdot \bar{j} (\bar{r}, t) = 0

Aber: natürlich muss deswegen nicht $\bar{j} (\bar{r}, t) = 0$ gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!

Kontinuitätsgleichung

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