Maxwell- Gleichungen im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder

$\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$

lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=0\\ \end{array}$

2) die Gleichungen sollen linear in

$\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$

sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!

Somit sind

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=a_1\dot{\overline{E}}+b_1\dot{\overline{B}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=a_2\dot{\overline{E}}+b_2\dot{\overline{B}}\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die

$\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$

für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

$\begin{array}{rl}& T_{g}oder{P}_g\Rightarrow a_1=0\\ & T_{u}oder{P}_u\Rightarrow b_2=0\\ \end{array}$

Also bleibt:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=b_1\dot{\overline{B}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j}=a_2\dot{\overline{E}}\\ & {\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho =0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

4) Ladungserhaltung:

$\begin{array}{rl}& 0=\frac{\partial }{\partial t}({\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}-\rho )={\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \dot{\overline{E}}-\dot{\rho }=\frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\overline{j})-\dot{\rho }\\ & \frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \frac{{\epsilon }_0}{a_2}\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mu }_0\overline{j}\right)-\dot{\rho }=0\\ & \Rightarrow a_2={\epsilon }_0{\mu }_0\\ \end{array}$

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung! Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte

${\epsilon }_0\dot{\overline{E}}$

5) Lorentzkraft

$\overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}$

soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

$L(\overline{r},\overline{v},t)$

so dass die Lagrangegleichung

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}\right)-\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=0$

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

$m\ddot{\overline{r}}=q[\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r},t)]$

ergibt!

Lösung:

$L=\frac{m}{2}{v}^2+q[\overline{v}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)]$

Tatsächlich gilt

$p_k=\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{v}_k+q{A}_k(\overline{r},t)$

= kanonischer Impuls

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{\ddot{x}}_k+q\frac{d}{dt}{A}_k(\overline{r},t)$

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn

$\overline{r}$

zu sehen!

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}{A}_k(\overline{r},t)+\frac{\partial A_k(\overline{r},t)}{\partial x_l}\frac{\partial x_l}{\partial t})=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}+\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)\\ & \frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=q[\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)-\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }]\\ & \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial v_k}-\frac{\partial L(\overline{r},\overline{v},t)}{\partial x_k}=m{\ddot{x}}_k+q(\frac{\partial }{\partial t}+\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-q[\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)-\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }]\\ & =m{\ddot{x}}_k+q\frac{\partial }{\partial t}{A}_k(\overline{r},t)+q[(\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)]+q\frac{\partial }{\partial x_k}\mathrm{\Phi }\\ & [(\overline{v}\cdot \mathrm{\nabla })A_k(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\overline{v}\overline{A}\right)]=-{[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]}_k\\ & \Rightarrow 0=m\ddot{\overline{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)-q[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]+q\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=m\ddot{\overline{r}}+q[\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-[\overline{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})]]\\ \end{array}$

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)\\ \end{array}$

und:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\times A(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=0\\ & \Rightarrow b_1=-1\\ \end{array}$

Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

$\overline{D}(\overline{r},t):={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)$

dielektrische Verschiebung und

$\overline{H}(\overline{r},t):=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)$,

Magnetfeld

ergibt sich:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{D}=\rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}\\ \end{array}$

Dabei sind

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern

$\overline{E},\overline{B}$

beschreiben und

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{D}=\rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}\\ \end{array}$

die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder

$\overline{D},\overline{H}$

durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\frac{1}{c}\dot{\overline{B}}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=4\pi \rho \\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}-\dot{\overline{E}}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \overline{D}=\overline{E}\\ & \overline{H}=\overline{B}\\ \end{array}$

im Vakuum!