Maxwell- Gleichungen im Vakuum

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder

E¯(r¯,t),B¯(r¯,t)

lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

∇r×E¯=0ε0∇r⋅E¯−ρ=0∇r⋅B¯=0∇×B¯−μ0j¯=0

2) die Gleichungen sollen linear in

E¯(r¯,t),B¯(r¯,t)

sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!

Somit sind

∇r×E¯=a1E¯˙+b1B¯˙∇×B¯−μ0j¯=a2E¯˙+b2B¯˙ε0∇r⋅E¯−ρ=0∇r⋅B¯=0

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die

E¯(r¯,t),B¯(r¯,t)

für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

Tgoder Pg⇒a1=0Tuoder Pu⇒b2=0

Also bleibt:

∇r×E¯=b1B¯˙∇×B¯−μ0j¯=a2E¯˙ε0∇r⋅E¯−ρ=0∇r⋅B¯=0

4) Ladungserhaltung:

0=∂∂t(ε0∇r⋅E¯−ρ)=ε0∇r⋅E¯˙−ρ˙=ε0a2∇⋅(∇×B¯−μ0j¯)−ρ˙ε0a2∇⋅∇×B¯=0⇒ε0a2∇⋅(μ0j¯)−ρ˙=0⇒a2=ε0μ0

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung! Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte

ε0E¯˙

5) Lorentzkraft

F¯=qv¯×B¯

soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

L(r¯,v¯,t)

so dass die Lagrangegleichung

ddt(∂L(r¯,v¯,t)∂vk)−∂L(r¯,v¯,t)∂xk=0

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

mr¯¨=q[E¯(r¯,t)+v¯×B¯(r¯,t)]

ergibt!

Lösung:

L=m2v2+q[v¯A¯(r¯,t)−Φ(r¯,t)]

Tatsächlich gilt

pk=∂L(r¯,v¯,t)∂vk=mvk+qAk(r¯,t)

= kanonischer Impuls

ddt∂L(r¯,v¯,t)∂vk=mx¨k+qddtAk(r¯,t)

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn

r¯

zu sehen!

ddt∂L(r¯,v¯,t)∂vk=mx¨k+q(∂∂tAk(r¯,t)+∂Ak(r¯,t)∂xl∂xl∂t)=mx¨k+q(∂∂t+v¯⋅∇)Ak(r¯,t)∂L(r¯,v¯,t)∂xk=q[∂∂xk(v¯A¯)−∂∂xkΦ]⇒0=ddt∂L(r¯,v¯,t)∂vk−∂L(r¯,v¯,t)∂xk=mx¨k+q(∂∂t+v¯⋅∇)Ak(r¯,t)−q[∂∂xk(v¯A¯)−∂∂xkΦ]=mx¨k+q∂∂tAk(r¯,t)+q[(v¯⋅∇)Ak(r¯,t)−∂∂xk(v¯A¯)]+q∂∂xkΦ[(v¯⋅∇)Ak(r¯,t)−∂∂xk(v¯A¯)]=−[v¯×(∇×A¯)]k⇒0=mr¯¨+q∂∂tA(r¯,t)−q[v¯×(∇×A¯)]+q∇Φ=mr¯¨+q[∂∂tA(r¯,t)+∇Φ−[v¯×(∇×A¯)]]

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

E¯(r¯,t)=−∂∂tA(r¯,t)−∇ΦB¯(r¯,t)=∇×A(r¯,t)

und:

∇×E¯(r¯,t)=−∂∂t∇×A(r¯,t)−∇×∇Φ∇×A(r¯,t)=B¯(r¯,t)∇×∇Φ=0⇒b1=−1

Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

D¯(r¯,t):=ε0E¯(r¯,t)

dielektrische Verschiebung und

H¯(r¯,t):=1μ0B¯(r¯,t),
Magnetfeld

ergibt sich:

∇r×E¯+B¯˙=0∇r⋅B¯=0∇r⋅D¯=ρ∇r×H¯−D¯˙=j¯

Dabei sind

∇r×E¯+B¯˙=0∇r⋅B¯=0

die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern

E¯,B¯

beschreiben und

∇r⋅D¯=ρ∇r×H¯−D¯˙=j¯

die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder

D¯,H¯

durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

∇r×E¯+1cB¯˙=0∇r⋅B¯=0∇r⋅E¯=4πρ∇r×B¯−E¯˙=4πcj¯

Mit

E¯=−1c∂∂tA¯−∇ΦB¯=∇×A¯D¯=E¯H¯=B¯

im Vakuum!

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