Eichinvarianz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Felder

$\overline{E},\overline{B}$

werden durch die Potenziale

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$

dargestellt.:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\to \mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \overline{A}(\overline{r},t)\to \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }G(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow -\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}(\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }G(\overline{r},t))\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}G(\overline{r},t))=0\\ & \Rightarrow (\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}G(\overline{r},t))=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig)\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& F(\overline{r},t):=G(\overline{r},t)-\underset{to}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}g(t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \overline{A}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\overline{A}(\overline{r},t)+\mathrm{\nabla }F(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}F(\overline{r},t)\\ \end{array}$

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion

$F(\overline{r},t)$.

Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur

$\overline{E},\overline{B}$

sondern auch

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$

sind physikalisch relevant. So muss auch

$\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{A}(\overline{r},t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=0\\ \end{array}$

Auch die Umkehrung gilt:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\exists }\overline{A}(\overline{r},t)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=\overline{B}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=-\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\overline{E}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\exists }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\Rightarrow \overline{E}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für

$\overline{A}(\overline{r},t),\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

1. Lorentz- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=0$

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)

$\begin{array}{rl}& -\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Für A: 2)

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}=\overline{j}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)+\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t))={\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=+\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t))=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Was mit der Lorentz- Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=0$

wird zu

$\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}$

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

$\#:=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

zusammengefasst werden:

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

$\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}:=c=2,994\cdot {10}^8\frac{m}{s}$

als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!

Coulomb- Eichung

(sogenannte Strahlungseichung):

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): Für

$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{D}}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A})-\mathrm{\Delta }\overline{A}={\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

$\overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)$

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

${\overline{E}}_l:=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

und ein quellenfreies Transversalfeld

${\overline{E}}_t=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)$

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

$\mathrm{\nabla }\times {\overline{E}}_l:=-\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\right)=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_t=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Da

$\overline{B}$

quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}:=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})=0$

Also:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

ergibt die longitudinalen Felder und

$\overline{A}(\overline{r},t)$

die transversalen Felder.

Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

$\overline{j}={\overline{j}}_l+{\overline{j}}_t$ mit $\mathrm{\nabla }\times {\overline{j}}_l=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0$

Mit

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_l+\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0\\ & \rho ={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_l\\ & \mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_t=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot ({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0\\ \end{array}$

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

$\mathrm{\nabla }\times ({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0$

Also:

$({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=const$

Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:

$({\overline{j}}_l+{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overline{E}}_l)=0$

Also:

${\overline{j}}_l={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$

Also: Die Feldgleichungen

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$ und $\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t))=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0\\ & \mathrm{\nabla }{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)={\overline{j}}_l\\ \end{array}$

erhalten dann die Form:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$ und $\begin{array}{rl}& \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0{\overline{j}}_t\\ & \\ \end{array}$

In der Coulomb- Eichung! Also.

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

$\#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0{\overline{j}}_t$

als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!

Sie liefert eine Poissongleichung für

$\mathrm{\Phi }$

und eine Wellengleichung für

$\overline{A}(\overline{r},t)$.