Eichinvarianz

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Felder

E¯,B¯

werden durch die Potenziale

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)

dargestellt.:

E¯=−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)B¯=∇×A¯(r¯,t)

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

Φ(r¯,t)→Φ ´(r¯,t)A¯(r¯,t)→A¯ ´(r¯,t)

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

E¯=−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)=−∇Φ ´(r¯,t)−∂∂tA¯ ´(r¯,t)B¯=∇×A¯(r¯,t)=∇×A¯ ´(r¯,t)⇒A¯ ´(r¯,t)=A¯(r¯,t)+∇G(r¯,t)⇒−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)=−∇Φ ´(r¯,t)−∂∂t(A¯(r¯,t)+∇G(r¯,t))⇒∇(Φ ´(r¯,t)−Φ(r¯,t)+∂∂tG(r¯,t))=0⇒(Φ ´(r¯,t)−Φ(r¯,t)+∂∂tG(r¯,t))=g(t)(r−unabha¨ngig)

Mit

F(r¯,t):=G(r¯,t)−∫totdt ´g(t ´)⇒A¯ ´(r¯,t)=A¯(r¯,t)+∇F(r¯,t)Φ ´(r¯,t)=Φ(r¯,t)−∂∂tF(r¯,t)

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion

F(r¯,t).

Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur

E¯,B¯

sondern auch

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)

sind physikalisch relevant. So muss auch

∮∂Fds¯A¯(r¯,t)=∫Fdf¯B¯(r¯,t)=Φ(r¯,t)

erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

E¯=−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)B¯=∇×A¯(r¯,t)

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

∇×E¯=−∇×∇Φ(r¯,t)−∂∂t∇×A¯(r¯,t)=−∂∂tB¯∇⋅B¯=∇⋅(∇×A¯(r¯,t))=0

Auch die Umkehrung gilt:

∇⋅B¯=0⇒∃A¯(r¯,t)⇒∇×A¯(r¯,t)=B¯∇×E¯=−∂∂tB¯=−∇×∂∂tA¯(r¯,t)⇒∇×(E¯+∂∂tA¯(r¯,t))=0⇒∃Φ(r¯,t)⇒E¯+∂∂tA¯(r¯,t)=−∇Φ(r¯,t)

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für

A¯(r¯,t),Φ(r¯,t)
  1. Lorentz- Eichung:
∇⋅A¯(r¯,t)+ε0μ0∂∂tΦ(r¯,t)=0

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)

−∇⋅E¯=∇⋅(∇Φ(r¯,t)+∂∂tA¯(r¯,t))=−ρε0ΔΦ(r¯,t)+∂∂t∇⋅A¯(r¯,t)=−ρε0

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

ΔΦ(r¯,t)−ε0μ0∂2∂t2Φ(r¯,t)=−ρε0

Für A: 2)

1μ0∇×B¯−ε0∂∂tE¯=j¯⇒∇×(∇×A¯(r¯,t))+ε0μ0∂∂t(∇Φ(r¯,t)+∂∂tA¯(r¯,t))=μ0j¯∇×(∇×A¯(r¯,t))=+∇(∇⋅A¯(r¯,t))−ΔA¯(r¯,t)⇒ΔA¯(r¯,t)−ε0μ0∂2∂t2A¯(r¯,t)−∇(∇⋅A¯(r¯,t)+ε0μ0∂∂tΦ(r¯,t))=−μ0j¯

Was mit der Lorentz- Eichung

∇⋅A¯(r¯,t)+ε0μ0∂∂tΦ(r¯,t)=0

wird zu

ΔA¯(r¯,t)−ε0μ0∂2∂t2A¯(r¯,t)=−μ0j¯

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

#:=Δ−1c2∂2∂t2

zusammengefasst werden:

#Φ(r¯,t)=−ρε0#A¯(r¯,t)=−μ0j¯

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

1ε0μ0:=c=2,994⋅108ms

als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!

Coulomb- Eichung

(sogenannte Strahlungseichung):

∇⋅A¯(r¯,t)=0

Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): Für

D¯˙=0⇒∇×B¯=∇(∇⋅A¯)−ΔA¯=μ0j¯

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

E¯=−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

E¯l:=−∇Φ(r¯,t)

und ein quellenfreies Transversalfeld

E¯t=−∂∂tA¯(r¯,t)

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

∇×E¯l:=−∇×(∇Φ(r¯,t))=0
∇⋅E¯t=−∂∂t∇⋅A¯(r¯,t)=0

Da

B¯

quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

∇⋅B¯:=∇⋅(∇×A¯)=0

Also:

Φ(r¯,t)

ergibt die longitudinalen Felder und

A¯(r¯,t)

die transversalen Felder.

Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

j¯=j¯l+j¯t mit ∇×j¯l=0
∇⋅j¯t=0

Mit

∂∂tρ+∇⋅j¯l+∇⋅j¯t=0ρ=ε0∇⋅E¯l∇⋅j¯t=0⇒∇⋅(j¯l+ε0∂∂tE¯l)=0

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

∇×(j¯l+ε0∂∂tE¯l)=0

Also:

(j¯l+ε0∂∂tE¯l)=const

Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:

(j¯l+ε0∂∂tE¯l)=0

Also:

j¯l=ε0∇∂Φ∂t

Also: Die Feldgleichungen

ΔΦ+∂∂t∇⋅A¯=−ρε0∇⋅A¯=0⇒ΔΦ=−ρε0 und ΔA¯(r¯,t)−ε0μ0∂2∂t2A¯(r¯,t)−∇(∇⋅A¯(r¯,t)+ε0μ0∂∂tΦ(r¯,t))=−μ0j¯∇⋅A¯(r¯,t)=0∇ε0∂∂tΦ(r¯,t)=j¯l

erhalten dann die Form:

ΔΦ=−ρε0 und #A¯(r¯,t)=−μ0j¯t

In der Coulomb- Eichung! Also.

ΔΦ=−ρε0
longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
#A¯(r¯,t)=−μ0j¯t

als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!

Sie liefert eine Poissongleichung für

Φ

und eine Wellengleichung für

A¯(r¯,t).
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