Freie Wellenausbreitung im Vakuum: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen: | Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen: | ||
<math>\rho =0</math> | :<math>\rho =0</math> | ||
<math>\bar{j}=0</math> | :<math>\bar{j}=0</math> | ||
Damit: | Damit: | ||
<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math> | :<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math> | ||
<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math> | :<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math> | ||
Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung | Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung | ||
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Wegen | Wegen | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
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gilt auch | gilt auch | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \#\bar{E}=0 \\ | & \#\bar{E}=0 \\ | ||
& \#\bar{B}=0 \\ | & \#\bar{B}=0 \\ | ||
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Dies folgt auch direkt aus | Dies folgt auch direkt aus | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\ | & \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\ | ||
& \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\ | & \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\ | ||
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<u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von | <u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von | ||
<math>u(\bar{r},t)=0</math> | :<math>u(\bar{r},t)=0</math> | ||
: | : | ||
<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math> | :<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math> | ||
mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion | mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion | ||
<math>F(\phi )</math> | :<math>F(\phi )</math> und <math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math> | ||
und | (dÁlembertsche Lösung) | ||
<math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math> | |||
( dÁlembertsche Lösung) | |||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi \right)=0</math> | :<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi \right)=0</math> | ||
Nebenbemerkung: | Nebenbemerkung: | ||
<math>F(\phi )</math> | :<math>F(\phi )</math> | ||
muss nicht periodisch in | muss nicht periodisch in | ||
<math>\phi </math> | :<math>\phi </math> | ||
sein ! | sein! | ||
Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen : | Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen : | ||
Der Wellenvektor | Der Wellenvektor | ||
<math>\bar{k}</math> | :<math>\bar{k}</math> | ||
zeigt in Ausbreitungsrichtung: | zeigt in Ausbreitungsrichtung: | ||
Es gilt: | Es gilt: | ||
<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math> | :<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math> | ||
Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase: | Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase: | ||
<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math> | :<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math> | ||
Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung: | Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung: | ||
<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right) \right)=0</math> | :<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right) \right)=0</math> | ||
Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung: | Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung: | ||
<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right)</math> | :<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right)</math> | ||
Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit | Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\ | & {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\ | ||
& \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\ | & \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\ | ||
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spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle | spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle | ||
<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math> | :<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math> | ||
mit der komplexen Amplitude | mit der komplexen Amplitude | ||
<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> | :<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> | ||
Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation | Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation | ||
<math>\varpi (\bar{k})</math> | :<math>\varpi (\bar{k})</math> | ||
<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math> | :<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math> | ||
Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity | Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity | ||
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Sei | Sei | ||
<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> | :<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> um <math>{{\bar{k}}_{0}}</math> | ||
um | |||
<math>{{\bar{k}}_{0}}</math> | |||
herum lokalisiert: | herum lokalisiert: | ||
So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist ! | So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist! | ||
Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um | Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um | ||
<math>{{\bar{k}}_{0}}</math> | :<math>{{\bar{k}}_{0}}</math> ergibt <math>\begin{align} | ||
ergibt | |||
<math>\begin{align} | |||
& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\ | & \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\ | ||
& {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\ | & {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\ | ||
Zeile 124: | Zeile 117: | ||
Diese lineare Näherung ergibt nun gerade | Diese lineare Näherung ergibt nun gerade | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\ | & u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\ | ||
& \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\ | & \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\ | ||
Zeile 131: | Zeile 124: | ||
Dies ist zu interpretieren als | Dies ist zu interpretieren als | ||
<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math> | :<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math> | ||
eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit | eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit | ||
<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math> | :<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math> | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math> | :<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math> | ||
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit | als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit | ||
<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math> | :<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math> | ||
bewegt: | bewegt: | ||
Wir erhalten die Dispersionsrelation | Wir erhalten die Dispersionsrelation | ||
<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math> | :<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math> | ||
elektromagnetische Wellen im Vakuum: | elektromagnetische Wellen im Vakuum: | ||
<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math> | :<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math> | ||
es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!) | es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!) | ||
Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum ! | Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum! | ||
<u>'''Polarisation'''</u> | <u>'''Polarisation'''</u> | ||
Zeile 156: | Zeile 149: | ||
Betrachte eine elektromagnetische Welle: | Betrachte eine elektromagnetische Welle: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\ | & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\ | ||
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\ | & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\ | ||
Zeile 163: | Zeile 156: | ||
Allgemein gilt: | Allgemein gilt: | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
heißt transversal, wenn | heißt transversal, wenn | ||
<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | ||
( quellenfrei) | (quellenfrei) | ||
<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
heißt longitudinal, wenn | heißt longitudinal, wenn | ||
<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | ||
( wirbelfrei) | (wirbelfrei) | ||
<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
Für | Für | ||
<math>\rho =0</math> | :<math>\rho =0</math> | ||
ist wegen | ist wegen | ||
<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math> | ||
das elektrische Feld transversal. | das elektrische Feld transversal. | ||
Wegen | Wegen | ||
<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math> | ||
ist das magnetische Feld stets transversal ! | ist das magnetische Feld stets transversal! | ||
Weiter folgt aus: | Weiter folgt aus: | ||
<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math> | :<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math> | ||
dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist ! | dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist! | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\ | & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\ | & \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\ | ||
Zeile 200: | Zeile 193: | ||
Folglich bilden | Folglich bilden | ||
<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math> | :<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math> | ||
ein Rechtssystem ! | ein Rechtssystem! | ||
Die Richtung von | Die Richtung von | ||
<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math> | :<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math> | ||
legt die Polarisation fest: | legt die Polarisation fest: | ||
Sei | Sei | ||
<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math> | :<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math> | ||
- Achse, also: | - Achse, also: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\ | & {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\ | ||
& {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\ | & {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\ | ||
Zeile 219: | Zeile 212: | ||
Das physikalische Feld ergibt sich zu | Das physikalische Feld ergibt sich zu | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\ | & {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\ | ||
& \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\ | & \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> und <math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math> | ||
und | |||
<math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math> | |||
Aus | Aus | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\ | & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\ | ||
& \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\ | & \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\ | ||
Zeile 236: | Zeile 225: | ||
Kann | Kann | ||
<math>\phi </math> | :<math>\phi </math> | ||
und somit | und somit | ||
<math>\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
eliminiert werden: | eliminiert werden: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\ | & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\ | ||
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\ | & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\ | ||
Zeile 248: | Zeile 237: | ||
Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für | Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für | ||
<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math> | :<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math> | ||
: | : | ||
Der Feldvektor | Der Feldvektor | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
läuft als Funktion von | läuft als Funktion von | ||
<math>\phi </math> | :<math>\phi </math> | ||
auf einer Ellipse senkrecht zu | auf einer Ellipse senkrecht zu | ||
<math>\bar{k}</math> | :<math>\bar{k}</math> | ||
um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation: | um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation: | ||
Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor | Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor | ||
<math>\bar{r}</math> | :<math>\bar{r}</math> | ||
für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort | für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort | ||
<math>\bar{r}</math> | :<math>\bar{r}</math>. | ||
<u>'''Spezialfälle:'''</u> | <u>'''Spezialfälle:'''</u> | ||
Zeile 271: | Zeile 260: | ||
<u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u> | <u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\ | & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\ | ||
& \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\ | & \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\ | ||
Zeile 278: | Zeile 267: | ||
Dies ist jedoch eine Geradengleichung: | Dies ist jedoch eine Geradengleichung: | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math> | ||
mit reeller Amplitude | mit reeller Amplitude | ||
<math>{{\bar{E}}_{0}}</math> | :<math>{{\bar{E}}_{0}}</math> | ||
<u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u> | <u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& a1=a2=a \\ | & a1=a2=a \\ | ||
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\ | & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\ | ||
Zeile 293: | Zeile 282: | ||
Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um | Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um | ||
<math>\frac{\pi }{2}</math> | :<math>\frac{\pi }{2}</math> | ||
phasenverschoben sind ! | phasenverschoben sind! | ||
Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um | Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix} | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix} | ||
\cos \phi \\ | \cos \phi \\ | ||
\pm \sin \phi \\ | \pm \sin \phi \\ | ||
Zeile 305: | Zeile 294: | ||
Dabei läuft | Dabei läuft | ||
<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math> | :<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math> dem <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
dem | |||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
- Vektor um | - Vektor um | ||
<math>\frac{\pi }{2}</math> | :<math>\frac{\pi }{2}</math> | ||
verschoben nach bzw. voraus ! | verschoben nach bzw. voraus! | ||
<u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u> | <u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u> | ||
<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math> | :<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math> | ||
reell: | reell: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\ | & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\ | ||
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\ | & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> mit <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math> | ||
mit | |||
<math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math> | |||
Die Energiedichte ergibt sich gemäß | Die Energiedichte ergibt sich gemäß | ||
<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math> | :<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math> | ||
Für die Energiestromdichte gilt: | Für die Energiestromdichte gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\ | & \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\ | ||
& \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\ | & \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\ | ||
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Also: | Also: | ||
Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung | Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung | ||
<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math> | :<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math> | ||
transportiert | transportiert | ||
Für ine Kugelwelle: | Für ine Kugelwelle: | ||
<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math> | :<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math> | ||
verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale: | verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale: | ||
für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt: | für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt: | ||
<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math> | :<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math> | ||
Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2: | Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2: | ||
<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math> | :<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math> |
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:19 Uhr
Der Artikel Freie Wellenausbreitung im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
Damit:
Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
Wegen
gilt auch
Dies folgt auch direkt aus
Allgemeine Lösung von
mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion
(dÁlembertsche Lösung) Beweis:
Nebenbemerkung:
muss nicht periodisch in
sein! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
Der Wellenvektor
zeigt in Ausbreitungsrichtung:
Es gilt:
Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle
mit der komplexen Amplitude
Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
Sei
herum lokalisiert:
So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist!
Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
Dies ist zu interpretieren als
eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
bewegt:
Wir erhalten die Dispersionsrelation
elektromagnetische Wellen im Vakuum:
es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)
Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!
Polarisation
Betrachte eine elektromagnetische Welle:
Allgemein gilt:
heißt transversal, wenn
(quellenfrei)
heißt longitudinal, wenn
(wirbelfrei)
Für
ist wegen
das elektrische Feld transversal. Wegen
ist das magnetische Feld stets transversal!
Weiter folgt aus:
dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!
Folglich bilden
ein Rechtssystem!
Die Richtung von
legt die Polarisation fest:
Sei
- Achse, also:
Das physikalische Feld ergibt sich zu
Aus
Kann
und somit
eliminiert werden:
Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
Der Feldvektor
läuft als Funktion von
auf einer Ellipse senkrecht zu
um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
Spezialfälle:
Linear polarisierte Welle:
Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
mit reeller Amplitude
Zirkular polarisierte Welle
Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
phasenverschoben sind! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:
Dabei läuft
- Vektor um
verschoben nach bzw. voraus!
Energiedichte der elektromagnetischen Welle:
reell:
Die Energiedichte ergibt sich gemäß
Für die Energiestromdichte gilt:
Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
transportiert Für ine Kugelwelle:
verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2: