Freie Wellenausbreitung im Vakuum: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:


<math>\rho =0</math>
:<math>\rho =0</math>


<math>\bar{j}=0</math>
:<math>\bar{j}=0</math>


Damit:
Damit:


<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>
:<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>


<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>
:<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>


Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
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Wegen
Wegen


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
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gilt auch
gilt auch


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \#\bar{E}=0 \\
& \#\bar{E}=0 \\
& \#\bar{B}=0 \\
& \#\bar{B}=0 \\
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Dies folgt auch direkt aus
Dies folgt auch direkt aus


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
& \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
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<u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
<u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
<math>u(\bar{r},t)=0</math>
:<math>u(\bar{r},t)=0</math>
:
:


<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>
:<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>


mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion
mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion
<math>F(\phi )</math>
:<math>F(\phi )</math> und <math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
und
(dÁlembertsche Lösung)
<math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
( dÁlembertsche Lösung)
Beweis:
Beweis:


<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi  \right)=0</math>
:<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi  \right)=0</math>


Nebenbemerkung:
Nebenbemerkung:
<math>F(\phi )</math>
:<math>F(\phi )</math>
muss nicht periodisch in
muss nicht periodisch in
<math>\phi </math>
:<math>\phi </math>
sein !
sein!
Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :




Der Wellenvektor
Der Wellenvektor
<math>\bar{k}</math>
:<math>\bar{k}</math>
zeigt in Ausbreitungsrichtung:
zeigt in Ausbreitungsrichtung:




Es gilt:
Es gilt:
<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>
:<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>


Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:


<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>
:<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>


Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:


<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right) \right)=0</math>
:<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right) \right)=0</math>


Die  Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
Die  Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:


<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right)</math>
:<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right)</math>


Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
& {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
& \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
& \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
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spezielle Lösung:  Harmonische Ebene Welle
spezielle Lösung:  Harmonische Ebene Welle


<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>
:<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>


mit der komplexen Amplitude
mit der komplexen Amplitude


<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
:<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>


Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
<math>\varpi (\bar{k})</math>
:<math>\varpi (\bar{k})</math>


<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>
:<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>


Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
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Sei
Sei


<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
:<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> um <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
um
<math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
herum lokalisiert:
herum lokalisiert:


So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist !
So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist!


Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
<math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
:<math>{{\bar{k}}_{0}}</math> ergibt <math>\begin{align}
ergibt
 
<math>\begin{align}
& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
& {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
& {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
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Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
Diese lineare Näherung ergibt nun gerade


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
& u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
& \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
& \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
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Dies ist zu interpretieren als
Dies ist zu interpretieren als


<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
:<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>
:<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>


<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit


<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
:<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
bewegt:
bewegt:




Wir erhalten die Dispersionsrelation
Wir erhalten die Dispersionsrelation
<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
:<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>


elektromagnetische Wellen im Vakuum:
elektromagnetische Wellen im Vakuum:
<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>
:<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>


es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)
es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)


Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !
Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!


<u>'''Polarisation'''</u>
<u>'''Polarisation'''</u>
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Betrachte eine elektromagnetische Welle:
Betrachte eine elektromagnetische Welle:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
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Allgemein gilt:
Allgemein gilt:


<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
heißt transversal, wenn
heißt transversal, wenn
<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
:<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
( quellenfrei)
(quellenfrei)


<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>
:<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>


<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
heißt longitudinal, wenn
heißt longitudinal, wenn
<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
:<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
( wirbelfrei)
(wirbelfrei)


<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>
:<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>


Für
Für
<math>\rho =0</math>
:<math>\rho =0</math>
ist wegen
ist wegen
<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
:<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
das elektrische Feld transversal.
das elektrische Feld transversal.
Wegen
Wegen
<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
:<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
ist das magnetische Feld stets transversal !
ist das magnetische Feld stets transversal!


Weiter folgt aus:
Weiter folgt aus:


<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>
:<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>


dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !
dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
& \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
& \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
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Folglich bilden
Folglich bilden
<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
:<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
ein Rechtssystem !
ein Rechtssystem!


Die Richtung von
Die Richtung von
<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
:<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
legt die Polarisation fest:
legt die Polarisation fest:


Sei
Sei
<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
:<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
- Achse, also:
- Achse, also:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
& {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
& {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
& {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
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Das physikalische Feld ergibt sich zu
Das physikalische Feld ergibt sich zu
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
& {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
& \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
& \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
\end{align}</math>
\end{align}</math> und <math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi  \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>
 
und
 
<math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi  \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>


Aus
Aus


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
Zeile 236: Zeile 225:


Kann
Kann
<math>\phi </math>
:<math>\phi </math>
und somit
und somit
<math>\left( \bar{r},t \right)</math>
:<math>\left( \bar{r},t \right)</math>
eliminiert werden:
eliminiert werden:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
Zeile 248: Zeile 237:


Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
:<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
:
:




Der Feldvektor
Der Feldvektor
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
läuft als Funktion von
läuft als Funktion von
<math>\phi </math>
:<math>\phi </math>
auf einer Ellipse senkrecht zu
auf einer Ellipse senkrecht zu
<math>\bar{k}</math>
:<math>\bar{k}</math>
um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:




Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
<math>\bar{r}</math>
:<math>\bar{r}</math>
für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
<math>\bar{r}</math>
:<math>\bar{r}</math>.
.
 


<u>'''Spezialfälle:'''</u>
<u>'''Spezialfälle:'''</u>
Zeile 271: Zeile 260:
<u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>
<u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
& \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
& \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
Zeile 278: Zeile 267:
Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
Dies ist jedoch eine Geradengleichung:


<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>


mit reeller Amplitude
mit reeller Amplitude


<math>{{\bar{E}}_{0}}</math>
:<math>{{\bar{E}}_{0}}</math>


<u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>
<u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& a1=a2=a \\
& a1=a2=a \\
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
Zeile 293: Zeile 282:


Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
<math>\frac{\pi }{2}</math>
:<math>\frac{\pi }{2}</math>
phasenverschoben sind !
phasenverschoben sind!
Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um


<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
\cos \phi  \\
\cos \phi  \\
\pm \sin \phi  \\
\pm \sin \phi  \\
Zeile 305: Zeile 294:


Dabei läuft
Dabei läuft
<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math>
:<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math> dem <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
dem
<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
- Vektor um
- Vektor um
<math>\frac{\pi }{2}</math>
:<math>\frac{\pi }{2}</math>
verschoben nach bzw. voraus !
verschoben nach bzw. voraus!


<u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>
<u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>


<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
:<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
reell:
reell:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
\end{align}</math>
\end{align}</math> mit <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>
 
mit
 
<math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>


Die Energiedichte ergibt sich gemäß
Die Energiedichte ergibt sich gemäß


<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>
:<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>


Für die Energiestromdichte gilt:
Für die Energiestromdichte gilt:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
& \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
& \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
& \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
Zeile 338: Zeile 321:
Also:
Also:
Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
:<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
transportiert
transportiert
Für ine Kugelwelle:
Für ine Kugelwelle:
<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:


für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:


<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>
:<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>


Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:
Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:


<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>
:<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:19 Uhr




Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

ρ=0
j¯=0

Damit:

#Φ=1ε0ρ=0#Φ=0
#A¯=μ0j¯=0#A¯=0

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

E¯=Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)B¯=×A¯(r¯,t)

gilt auch

#E¯=0#B¯=0

Dies folgt auch direkt aus

×B¯=ε0μ0E¯˙×E¯=B¯˙mitE¯=0(Δε0μ02t2)E¯=0

Allgemeine Lösung von

u(r¯,t)=0
u(r¯,t)=F(k¯r¯ϖt)

mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion

F(ϕ) und ϖ=c|k¯|

(dÁlembertsche Lösung) Beweis:

#F(k¯r¯ϖt)=(k¯2ϖ2c2)F´´(ϕ)=0

Nebenbemerkung:

F(ϕ)

muss nicht periodisch in

ϕ

sein! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :


Der Wellenvektor

k¯

zeigt in Ausbreitungsrichtung:


Es gilt:

ϕ(r¯,t)=k¯

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

k¯r¯ϖt=ϕ(r¯,t)=const!

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

k¯(r¯1k2k¯(ϖt+ϕ))=0

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

r¯(t)=1k2k¯(ϖt+ϕ)

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

vph=dr¯(t)dt|ϕ=const=k¯k2ϖ=ck¯kk¯k:=n¯

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

u(r¯,t)=u~(k¯)ei(k¯r¯ϖt)

mit der komplexen Amplitude

u~(k¯)

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation

ϖ(k¯)
u(r¯,t)=d3ku~(k¯)ei(k¯r¯ϖ(k¯)t)

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

u~(k¯) um k¯0

herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist!

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um

k¯0 ergibt ϖ(k¯)ϖ(k¯0)+(k¯k¯0)kϖ(k¯)|k¯=k¯0+12!(k¯k¯0)2(k)2ϖ(k¯)|k¯=k¯0+...kϖ(k¯)|k¯=k¯0=v¯gϖ(k¯)ϖ(k¯0)+(k¯k¯0)v¯g

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

u(r¯,t)=ei(k¯0r¯ϖ0t)d3k~u~(k¯0+k¯~)eik¯~(r¯v¯gt)k¯~=k¯k¯0

Dies ist zu interpretieren als

ei(k¯0r¯ϖ0t)

eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit

v¯ph=ϖ0k0
d3k~u~(k¯0+k¯~)eik¯~(r¯v¯gt)

als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

v¯g=kϖ(k¯)

bewegt:


Wir erhalten die Dispersionsrelation

ϖ(k¯)

elektromagnetische Wellen im Vakuum:

ϖ(k¯)=c|k¯|v¯g=ck¯|k¯|=v¯ph=1ε0μ0n¯

es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

E¯(r¯,t)=E¯0ei(k¯r¯ϖt)B¯(r¯,t)=B¯0ei(k¯r¯ϖt)

Allgemein gilt:

E¯(r¯,t)

heißt transversal, wenn

E¯(r¯,t)=0

(quellenfrei)

ik¯E¯(r¯,t)=0k¯E¯(r¯,t)
E¯(r¯,t)

heißt longitudinal, wenn

×E¯(r¯,t)=0

(wirbelfrei)

ik¯×E¯(r¯,t)=0k¯||E¯(r¯,t)

Für

ρ=0

ist wegen

E¯(r¯,t)=0

das elektrische Feld transversal. Wegen

B¯(r¯,t)=0

ist das magnetische Feld stets transversal!

Weiter folgt aus:

×E¯(r¯,t)+B¯˙=0

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!

×E¯(r¯,t)+B¯˙=0(ik¯×E¯0iϖB¯0)ei(k¯r¯ϖt)=0ϖ=c|k¯|B¯0=1ck¯|k¯|×E¯0:=1cn¯×E¯0

Folglich bilden

k¯,E¯0,B¯0

ein Rechtssystem!

Die Richtung von

{E¯0,B¯0}

legt die Polarisation fest:

Sei

k¯||e¯3

- Achse, also:

E¯0=E01e¯1+E02e¯2E0i=aieiδiCai,δiRi=1,2

Das physikalische Feld ergibt sich zu

E¯1(r¯,t)={a1ei(δ1+k¯r¯ϖt)}=a1cos(ϕ+δ1)ϕ:=k¯r¯ϖt und E¯2(r¯,t)={a2ei(δ2+ϕ)}=a2cos(ϕ+δ2)

Aus

E¯1a1(r¯,t)=cosϕcosδ1sinϕsinδ1E¯2a2(r¯,t)=cosϕcosδ2sinϕsinδ2

Kann

ϕ

und somit

(r¯,t)

eliminiert werden:

E¯1a1sinδ2E¯2a2sinδ1=cosϕsin(δ2δ1)E¯1a1cosδ2E¯2a2cosδ1=sinϕsin(δ2δ1)12+22(E¯1a1)2+(E¯2a2)22E¯1a1E¯2a2cos(δ2δ1)=sin2(δ2δ1)

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für

E¯1,E¯2


Der Feldvektor

E¯(r¯,t)

läuft als Funktion von

ϕ

auf einer Ellipse senkrecht zu

k¯

um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:


Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor

r¯

für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort

r¯.


Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

δ1=δ2+nπsin(δ2δ1)=0,cos(δ2δ1)=±1E¯1a1±E¯2a2=0

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

E¯(r¯,t)=E¯0cosϕ(r¯,t)

mit reeller Amplitude

E¯0

Zirkular polarisierte Welle

a1=a2=aδ1=δ2+(2n+1)π2sin(δ2δ1)=±1,cos(δ2δ1)=0E¯12+E¯22=a2

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um

π2

phasenverschoben sind! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

E¯(r¯,t)=a(cosϕ±sinϕ)

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft

B¯(r¯,t) dem E¯(r¯,t)

- Vektor um

π2

verschoben nach bzw. voraus!

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

E¯0(r¯,t)

reell:

E¯(r¯,t)=E¯0cos(k¯r¯ϖt)B¯(r¯,t)=B¯0cos(k¯r¯ϖt) mit B¯0=1cn¯×E¯0

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

w=ε02E¯2+12μ0B¯2=ε02E¯2+12μ0c2E¯2=2ε02E¯2

Für die Energiestromdichte gilt:

S¯=1μ0E¯×B¯S¯=1cμ0E¯×(n¯×E¯)=ε0μ0E¯2n¯=cε0E¯2n¯=cwn¯

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung

n¯=k¯|k¯|

transportiert Für ine Kugelwelle:

E¯(r¯,t)=1rE¯0cos(k¯r¯ϖt)

verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

W(r)=4πr2drε0E¯2(r¯,t)

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

W(r)=4πr2drε0E¯2(r¯,t)=2πr2drε0E¯02r2=const.