Freie Wellenausbreitung im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Freie Wellenausbreitung im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

$\rho =0$

$\overline{j}=0$

Damit:

$\#\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho =0\Rightarrow \#\mathrm{\Phi }=0$

$\#\overline{A}=-{\mu }_0\overline{j}=0\Rightarrow \#\overline{A}=0$

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

gilt auch

$\begin{array}{rl}& \#\overline{E}=0\\ & \#\overline{B}=0\\ \end{array}$

Dies folgt auch direkt aus

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\epsilon }_0{\mu }_0\dot{\overline{E}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\dot{\overline{B}}\\ & \Rightarrow mit\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=0\\ & (\mathrm{\Delta }-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\overline{E}=0\\ \end{array}$

Allgemeine Lösung von

$u(\overline{r},t)=0$

$u(\overline{r},t)=F(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)$

mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion

$F(\varphi )$ und $\varpi =c\left|\overline{k}\right|$

(dÁlembertsche Lösung) Beweis:

$\#F(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)=({\overline{k}}^2-\frac{{\varpi }^2}{c^2})F\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\varphi \right)=0$

Nebenbemerkung:

$F(\varphi )$

muss nicht periodisch in

$\varphi$

sein! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :

Der Wellenvektor

$\overline{k}$

zeigt in Ausbreitungsrichtung:

Es gilt:

$\mathrm{\nabla }\varphi (\overline{r},t)=\overline{k}$

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

$\overline{k}\overline{r}-\varpi t=\varphi (\overline{r},t)=const!$

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

$\overline{k}(\overline{r}-\frac{1}{k^2}\overline{k}(\varpi t+\varphi ))=0$

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

$\overline{r}(t)=\frac{1}{k^2}\overline{k}(\varpi t+\varphi )$

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

$\begin{array}{rl}& v_{ph}={\frac{d\overline{r}(t)}{dt}|}_{\varphi =const}^{}=\frac{\overline{k}}{k^2}\varpi =c\frac{\overline{k}}{k}\\ & \frac{\overline{k}}{k}:=\overline{n}\\ \end{array}$

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

$u(\overline{r},t)=\tilde{u}(\overline{k})e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}$

mit der komplexen Amplitude

$\tilde{u}(\overline{k})$

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation

$\varpi (\overline{k})$

$u(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}k\tilde{u}(\overline{k})e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi (\overline{k})t)}$

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

$\tilde{u}(\overline{k})$ um ${\overline{k}}_0$

herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist!

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um

${\overline{k}}_0$ ergibt $\begin{array}{rl}& \varpi (\overline{k})\approx \varpi ({\overline{k}}_0)+(\overline{k}-{\overline{k}}_0){\mathrm{\nabla }}_k\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}+\frac{1}{2!}{(\overline{k}-{\overline{k}}_0)}^2{\left({\mathrm{\nabla }}_k\right)}^2\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}+...\\ & {\mathrm{\nabla }}_k\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}={\overline{v}}_g\\ & \varpi (\overline{k})\approx \varpi ({\overline{k}}_0)+(\overline{k}-{\overline{k}}_0){\overline{v}}_g\\ \end{array}$

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=e^{i({\overline{k}}_0\overline{r}-{\varpi }_{0}t)}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^3\tilde{k}\tilde{u}({\overline{k}}_0+\tilde{\overline{k}})e^{i\tilde{\overline{k}}(\overline{r}-{\overline{v}}_{g}t)}\\ & \tilde{\overline{k}}=\overline{k}-{\overline{k}}_0\\ \end{array}$

Dies ist zu interpretieren als

$e^{i({\overline{k}}_0\overline{r}-{\varpi }_{0}t)}$

eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit

${\overline{v}}_{ph}=\frac{{\varpi }_0}{k_0}$

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^3\tilde{k}\tilde{u}({\overline{k}}_0+\tilde{\overline{k}})e^{i\tilde{\overline{k}}(\overline{r}-{\overline{v}}_{g}t)}$

als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

${\overline{v}}_g={\mathrm{\nabla }}_k\varpi \left(\overline{k}\right)$

bewegt:

Wir erhalten die Dispersionsrelation

$\varpi \left(\overline{k}\right)$

elektromagnetische Wellen im Vakuum:

$\varpi \left(\overline{k}\right)=c\left|\overline{k}\right|\Rightarrow {\overline{v}}_g=c\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}={\overline{v}}_{ph}=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\overline{n}$

es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\\ & \overline{B}(\overline{r},t)={\overline{B}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\\ \end{array}$

Allgemein gilt:

$\overline{E}(\overline{r},t)$

heißt transversal, wenn

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0$

(quellenfrei)

$\Rightarrow i\overline{k}\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{k}\mathrm{\perp }\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{E}(\overline{r},t)$

heißt longitudinal, wenn

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)=0$

(wirbelfrei)

$\Rightarrow i\overline{k}\times \overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{k}\left|\right|\overline{E}(\overline{r},t)$

Für

$\rho =0$

ist wegen

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0$

das elektrische Feld transversal. Wegen

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}(\overline{r},t)=0$

ist das magnetische Feld stets transversal!

Weiter folgt aus:

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)+\dot{\overline{B}}=0$

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)+\dot{\overline{B}}=0\\ & \Rightarrow (i\overline{k}\times {\overline{E}}_0-i\varpi {\overline{B}}_0)e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}=0\\ & \varpi =c\left|\overline{k}\right|\\ & \Rightarrow {\overline{B}}_0=\frac{1}{c}\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}\times {\overline{E}}_0:=\frac{1}{c}\overline{n}\times {\overline{E}}_0\\ \end{array}$

Folglich bilden

$\overline{k},{\overline{E}}_0,{\overline{B}}_0$

ein Rechtssystem!

Die Richtung von

$\mathrm{\Re }\{{\overline{E}}_0,{\overline{B}}_0\}$

legt die Polarisation fest:

Sei

$\overline{k}\left|\right|{\overline{e}}_3$

- Achse, also:

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_0=E_{01}{\overline{e}}_1+E_{02}{\overline{e}}_2\\ & E_{0i}=a_i{e}^{i{\delta }_i}\in C\\ & a_i,{\delta }_i\in R\\ & i=1,2\\ \end{array}$

Das physikalische Feld ergibt sich zu

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_1(\overline{r},t)=\mathrm{\Re }\left\{a_1{e}^{i({\delta }_1+\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\right\}=a_1\cos (\varphi +{\delta }_1)\\ & \varphi :=\overline{k}\overline{r}-\varpi t\\ \end{array}$ und ${\overline{E}}_2(\overline{r},t)=\mathrm{\Re }\left\{a_2{e}^{i({\delta }_2+\varphi )}\right\}=a_2\cos (\varphi +{\delta }_2)$

Aus

$\begin{array}{rl}& \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}(\overline{r},t)=\cos \varphi \cos {\delta }_1-\sin \varphi \sin {\delta }_1\\ & \frac{{\overline{E}}_2}{a2}(\overline{r},t)=\cos \varphi \cos {\delta }_2-\sin \varphi \sin {\delta }_2\\ \end{array}$

Kann

$\varphi$

und somit

$(\overline{r},t)$

eliminiert werden:

$\begin{array}{rl}& \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\sin {\delta }_2-\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\sin {\delta }_1=\cos \varphi \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)\\ & \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\cos {\delta }_2-\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\cos {\delta }_1=\sin \varphi \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)\\ & \Rightarrow 1^2+2^2\Rightarrow {\left(\frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\right)}^2+{\left(\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\right)}^2-2\frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)={\sin }^2({\delta }_2-{\delta }_1)\\ \end{array}$

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für

${\overline{E}}_1,{\overline{E}}_2$

Der Feldvektor

$\overline{E}(\overline{r},t)$

läuft als Funktion von

$\varphi$

auf einer Ellipse senkrecht zu

$\overline{k}$

um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:

Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor

$\overline{r}$

für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort

$\overline{r}$.

Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

$\begin{array}{rl}& {\delta }_1={\delta }_2+n\pi \Rightarrow \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)=0,\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)=\pm 1\\ & \Rightarrow \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\pm \frac{{\overline{E}}_2}{a2}=0\\ \end{array}$

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

$\overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\cos \varphi (\overline{r},t)$

mit reeller Amplitude

${\overline{E}}_0$

Zirkular polarisierte Welle

$\begin{array}{rl}& a1=a2=a\\ & {\delta }_1={\delta }_2+(2n+1)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)=\pm 1,\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)=0\\ & \Rightarrow {{\overline{E}}_1}^2+{{\overline{E}}_2}^2=a^2\\ \end{array}$

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um

$\frac{\pi }{2}$

phasenverschoben sind! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

$\overline{E}(\overline{r},t)=a\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \pm \sin \varphi \\ \end{array}\right)$

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft

$\overline{B}(\overline{r},t)$ dem $\overline{E}(\overline{r},t)$

- Vektor um

$\frac{\pi }{2}$

verschoben nach bzw. voraus!

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

${\overline{E}}_0(\overline{r},t)$

reell:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)\\ & \overline{B}(\overline{r},t)={\overline{B}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)\\ \end{array}$ mit ${\overline{B}}_0=\frac{1}{c}\overline{n}\times {\overline{E}}_0$

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

$w=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0{c}^2}{\overline{E}}^2=2\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2$

Für die Energiestromdichte gilt:

$\begin{array}{rl}& \overline{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{E}\times \overline{B}\\ & \overline{S}=\frac{1}{c{\mu }_0}\overline{E}\times (\overline{n}\times \overline{E})=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}}{\overline{E}}^2\overline{n}=c{\epsilon }_0{\overline{E}}^2\overline{n}=cw\overline{n}\\ \end{array}$

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung

$\overline{n}=\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}$

transportiert Für ine Kugelwelle:

$\overline{E}(\overline{r},t)=\frac{1}{r}{\overline{E}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)$

verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

$W(r)=4\pi r^{2}dr{\epsilon }_0{\overline{E}}^2(\overline{r},t)$

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

$W(r)=4\pi r^{2}dr{\epsilon }_0{\overline{E}}^2(\overline{r},t)=2\pi r^{2}dr{\epsilon }_0\frac{{{\overline{E}}_0}^2}{r^2}=const.$