Polarisation

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

1. freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

• Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

$\overline{K}=q[\overline{E}+(\overline{v}\times \overline{B})]$

• elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
• $\sigma$

1. gebundene Ladungen (In Isolatoren)

• Polarisierung im E- Feld

1. Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

1. Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

$\overline{p}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho \left(\overline{r}\right)\overline{r}\ne 0$

nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld

$\begin{array}{rl}& \overline{E}\stackrel{´}{}=\overline{E}+{\overline{E}}_p\\ & {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}+{\rho }_P\\ \end{array}$

gemäß

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_p={\rho }_P$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}\stackrel{´}{}=\overline{E}+{\overline{E}}_p\\ & {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}+{\rho }_P\\ \end{array}$

Mit der freien Ladungsdichte

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho$

Also:

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}=\rho +{\rho }_P$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

$\overline{P}(\overline{r},t):=-{\epsilon }_0{\overline{E}}_p(\overline{r},t)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_0\overline{E}\stackrel{´}{}+\overline{P})=\rho \\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}=-{\rho }_P\\ \end{array}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

$\overline{D}(\overline{r},t)=({\epsilon }_0\overline{E}\stackrel{´}{}+\overline{P})$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}=\rho$

Wir bezeichnen mit

$\overline{P}(\overline{r},t)d\overline{f}=d{Q}_P$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

${\oint }_{\partial V}\overline{P}(\overline{r},t)d\overline{f}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}(\overline{r},t)=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\rho }_P$

= Polarisationsladung, die V verläßt!

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${\rho }_m(\overline{r},t)=\sum _i{q}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i(t))$

(mikroskopische Ladungsdichte)

${\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i(t))$

(mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen

$\mathrm{\Delta }V:$

${\left(\mathrm{\Delta }V\right)}^{\frac{1}{3}}<<$

Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho (\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}+\overline{s},t)$

(makroskopische Ladungsdichte)

$\overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{P}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r}+\overline{s},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}:=\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{s}\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ \end{array}$

Wobei

$\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})=\rho (\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})$

Die makroskopische Ladungsdichte ist!

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ \end{array}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${\overline{p}}_i$

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\sum _i\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})\right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})$

Analog:

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r}+\overline{s},t)\\ & =-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}\\ & =-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}\\ \end{array}$

Umformung:

${\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\\ & t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${\rho }_p(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})=(-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{}))$

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte

$\overline{P}$

mit der durch

$\overline{P}:=-{\epsilon }_0{\overline{E}}_p$

bzw.

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}=-{\rho }_p$

definierten Polarisation identifizieren.