Polarisation

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Polarisation	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

1. freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

• Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

${\bar {K}}=q\left[{\bar {E}}+\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\right]$

• elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
• $\sigma$

1. gebundene Ladungen (In Isolatoren)

• Polarisierung im E- Feld

1. Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

1. Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

${\bar {p}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\rho \left({\bar {r}}\right){\bar {r}}\neq 0$

nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}={\bar {E}}+{{\bar {E}}_{p}}\\&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}+{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$

gemäß

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar {E}}_{p}}={{\rho }_{P}}$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}={\bar {E}}+{{\bar {E}}_{p}}\\&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}+{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$

Mit der freien Ladungsdichte

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}=\rho$

Also:

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}{\acute {\ }}=\rho +{{\rho }_{P}}$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}_{p}}\left({\bar {r}},t\right)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

${\begin{aligned}&\nabla \cdot \left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}{\acute {\ }}+{\bar {P}}\right)=\rho \\&\nabla \cdot {\bar {P}}=-{{\rho }_{P}}\\\end{aligned}}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

${\bar {D}}({\bar {r}},t)=\left({{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}{\acute {\ }}+{\bar {P}}\right)$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\nabla \cdot {\bar {D}}=\rho$

Wir bezeichnen mit

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)d{\bar {f}}=d{{Q}_{P}}$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

$\oint _{\partial V}{}{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)d{\bar {f}}=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}$

= Polarisationsladung, die V verläßt!

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${{\rho }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{q}_{i}}\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}(t)\right)$

(mikroskopische Ladungsdichte)

${{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}\delta \left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}(t)\right)$

(mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=\sum \limits _{i}{}{{\bar {p}}_{i}}}$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen

$\Delta V:$

${{\left(\Delta V\right)}^{\frac {1}{3}}}<<$

Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$

(makroskopische Ladungsdichte)

${\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}:={\bar {r}}{\acute {\ }}-{\bar {s}}\\&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\\&={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\\end{aligned}}$

Wobei

${\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)=\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Die makroskopische Ladungsdichte ist!

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\&={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}+{\bar {s}},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\\end{aligned}}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${{\bar {p}}_{i}}$

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{{\nabla }_{r}}\left\{\sum \limits _{i}{}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}{{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)\right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${{\bar {p}}_{i}}\left(t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}{c}}\right)$

Analog:

${{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left({\bar {r}}+{\bar {s}},t\right)\\&=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\Delta V}}\int _{\Delta V}^{}{}{{d}^{3}}s\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\bar {P}}_{m}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}+{\bar {s}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}\\&=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\acute {\ }}{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}\\\end{aligned}}$

Umformung:

${{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\&t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\\&{{\nabla }_{r}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}=-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left\{{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\right\}+{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${{\rho }_{p}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)=\left(-{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {P}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\right)$

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte

${\bar {P}}$

mit der durch

${\bar {P}}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}_{p}}$

bzw.

$\nabla \cdot {\bar {P}}=-{{\rho }_{p}}$

definierten Polarisation identifizieren.