Polarisation

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

  1. freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

  • Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
K¯=q[E¯+(v¯×B¯)]
  • elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
  • σ
  1. gebundene Ladungen (In Isolatoren)
  • Polarisierung im E- Feld
  1. Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

  1. Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:
p¯=∫d3rρ(r¯)r¯≠0

nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!


Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen


Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld

E¯ ´=E¯+E¯pε0∇⋅E¯ ´=ε0∇⋅E¯+ρP

gemäß

ε0∇⋅E¯p=ρP


Das resultierende Gesamtfeld lautet:

E¯ ´=E¯+E¯pε0∇⋅E¯ ´=ε0∇⋅E¯+ρP

Mit der freien Ladungsdichte

ε0∇⋅E¯=ρ

Also:

ε0∇⋅E¯ ´=ρ+ρP

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

P¯(r¯,t):=−ε0E¯p(r¯,t)

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

∇⋅(ε0E¯ ´+P¯)=ρ∇⋅P¯=−ρP

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

D¯(r¯,t)=(ε0E¯ ´+P¯)

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

∇⋅D¯=ρ

Wir bezeichnen mit

P¯(r¯,t)df¯=dQP

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:


Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

∮∂VP¯(r¯,t)df¯=∫Vd3r∇⋅P¯(r¯,t)=−∫Vd3rρP

= Polarisationsladung, die V verläßt!

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

ρm(r¯,t)=∑iqiδ(r¯−r¯i(t))

(mikroskopische Ladungsdichte)

P¯m(r¯,t)=∑ip¯iδ(r¯−r¯i(t))

(mikroskopische Dipoldichte) mit:

∫Vd3rP¯m(r¯,t)=∑ip¯i

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen

ΔV:
(ΔV)13<<

Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

ρ(r¯,t)=1ΔV∫ΔVd3sρm(r¯+s¯,t)

(makroskopische Ladungsdichte)

P¯(r¯,t)=1ΔV∫ΔVd3sP¯m(r¯+s¯,t)

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

Φm(r¯,t)=14πε0∫R3d3r ´ρm(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)|r¯−r¯ ´|

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

Φ(r¯,t)=1ΔV∫ΔVd3sΦm(r¯+s¯,t)=14πε01ΔV∫ΔVd3s∫R3d3r ´ρm(r¯ ´,t−|r¯+s¯−r¯ ´|c)|r¯+s¯−r¯ ´|r¯ ´ ´:=r¯ ´−s¯Φ(r¯,t)=14πε01ΔV∫ΔVd3s∫R3d3r ´ ´ρm(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)|r¯−r¯ ´ ´|=14πε0∫R3d3r ´ ´1|r¯−r¯ ´ ´|1ΔV∫ΔVd3sρm(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)

Wobei

1ΔV∫ΔVd3sρm(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)=ρ(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)

Die makroskopische Ladungsdichte ist!

⇒Φ(r¯,t)=14πε0∫R3d3r ´ ´1|r¯−r¯ ´ ´|1ΔV∫ΔVd3sρm(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)=14πε0∫R3d3r ´ ´1|r¯−r¯ ´ ´|ρ(r¯ ´ ´+s¯,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

p¯i
Φm(r¯,t)=−14πε0∇r{∑i1|r¯−r¯i|p¯i(t−|r¯−r¯i|c)}

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

p¯i(t−|r¯−r¯i|c)

Analog:

Φm(r¯,t)=−14πε0∫R3d3r ´∇r{1|r¯−r¯ ´|P¯m(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}

mit der mikroskopischen Dipoldichte

P¯m(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

Φ(r¯,t)=1ΔV∫ΔVd3sΦm(r¯+s¯,t)=−14πε01ΔV∫ΔVd3s∫R3d3r ´∇r{1|r¯+s¯−r¯ ´|P¯m(r¯ ´,t−|r¯+s¯−r¯ ´|c)}=−14πε0∫R3d3r ´ ´∇r{1|r¯−r¯ ´ ´|P¯(r¯ ´ ´,t−|r¯−r¯ ´ ´|c)}

Umformung:

∇r{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}=−∇r ´{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}+Korrektur

Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

∇r{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}=−∇r ´{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}+1|r¯−r¯ ´|∇r ´P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)t ´=t−|r¯−r¯ ´|c∇r{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}=−∇r ´{1|r¯−r¯ ´|P¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)}+1|r¯−r¯ ´|∇r ´P¯(r¯ ´,t ´)

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

ρp(r¯ ´,t ´)=(−∇r ´P¯(r¯ ´,t ´))

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte

P¯

mit der durch

P¯:=−ε0E¯p

bzw.

∇⋅P¯=−ρp

definierten Polarisation identifizieren.

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