Magnetisierung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente

$\overline{m}$

a) Für

$\overline{B}=0$

vorhandene, permanente magnetische Momente

$\overline{m}$

werden zur Minimierung der potenziellen Energie

$W_{mag.}=-\overline{m}\overline{B}$

vorzugsweise (entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

• paramagnetisches Verhalten

1. durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

• diamagnetisches Verhalten!

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

$\begin{array}{rl}& {\overline{M}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{m}}_i(t)\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & {\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i(t)\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)el.Dipoldichte\\ \end{array}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen

$\mathrm{\Delta }V$

$\overline{M}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{M}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte

$\overline{M}(\overline{r},t)$

und den effektiven Feldern

$\overline{B}$

in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte

${\overline{j}}_M$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\mathrm{\nabla }\times {\overline{B}}_M={\mu }_0{\overline{j}}_M$

bzw.

$\mathrm{\nabla }\times \overline{M}={\overline{j}}_M$

effektive Gesamtinduktion (im stationären Fall):

$\begin{array}{rl}& \overline{B}\stackrel{´}{}=\overline{B}+{\overline{B}}_M\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}\right)=\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\right)+{\overline{j}}_M=\overline{j}+{\overline{j}}_M\\ \end{array}$

Also: Erzeugung des B- Feldes (Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

$\begin{array}{rl}& \overline{B}\stackrel{´}{}=\overline{B}+{\overline{B}}_M\\ & \mathrm{\nabla }\times (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}-\overline{M})=\overline{j}\\ & \overline{H}=\frac{1}{{\mu }_0}(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}-{\overline{B}}_M)=\frac{\overline{B}}{{\mu }_0}\\ \end{array}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

$\begin{array}{rl}& {\overline{A}}_m(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum _i[\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\dot{\overline{p}}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\overline{m}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})\right)]\\ & {\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})elektrDipolmoment\\ & {\overline{m}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})magnetDipolmoment\\ & \Rightarrow {\overline{A}}_m(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\dot{\overline{p}}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ \end{array}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${\overline{p}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

und der magnetischen Dipoldichte

${\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

$\begin{array}{rl}& \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{A}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\dot{\overline{p}}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ & ==\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ \end{array}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind (vergleiche oben)

Umformung liefert:

$\begin{array}{rl}& \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ & \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)=\\ & =-\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ & t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)=0\\ & \Rightarrow \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})]\\ \end{array}$

Definition

$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{P}}={\overline{j}}_p\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})={\overline{j}}_M\\ \end{array}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

$\overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[{\overline{j}}_p(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_M(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt!

es gilt der Erhaltungssatz:

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t\stackrel{´}{}}{\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \dot{\overline{P}}=-\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_p\\ & \Rightarrow {\dot{\rho }}_p+\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_p=0\\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung!