Brechung und Reflexion

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Brechung und Reflexion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:

Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent →

${\epsilon }_i\in R$

$\begin{array}{rl}& \frac{\omega }{c_1}=\left|\overline{k}\right|=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega \stackrel{´}{}}{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{c_2}\\ & c_i=\frac{c}{n_i}=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_i}}i=1,2\\ & \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Einfallende Welle:

$\overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}$

Reflektierte Welle:

$\overline{E}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\stackrel{´}{}{e}^{i(\overline{k}\stackrel{´}{}\overline{r}-\omega \stackrel{´}{}t)}$

Transmittierte Welle:

$\overline{E}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i(\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\overline{r}-\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}t)}$

Grenzbedingungen für

$\overline{E}(\overline{r},t)$.

Annahme: linear polarisiert:

${E_1+E_1\stackrel{´}{}|}_{x_3=0}={E_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}_{x_3=0}$

→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_{01}{e}^{i\omega t}+{\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}{e}^{i\omega \stackrel{´}{}t}={\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}t}\\ & \Rightarrow \omega =\omega \stackrel{´}{}=\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & {\overline{E}}_{01}+{\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}={\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

$E_{01}{e}^{i{k}_1{x}_1}+E_{01}\stackrel{´}{}{e}^{ik{\stackrel{´}{}}_1{x}_1}=E_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i{k}_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{x}_1}$

Also:

$k_1=k_1\stackrel{´}{}=k_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

$\begin{array}{rl}& \left|\overline{k}\right|\sin \gamma =\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\sin \gamma \stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \left|\overline{k}\right|=\frac{\omega }{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega }{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega }{c_2}\\ \end{array}$

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

$\begin{array}{rl}& \sin \gamma =\sin \gamma \stackrel{´}{}\\ & \frac{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{\sin \gamma }=\frac{c_2}{c_1}=\frac{n_1}{n_2}\\ \end{array}$

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

1. Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

$\begin{array}{rl}& E_{01}=E_{01}\stackrel{´}{}=E_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & E_{03}=E_{03}\stackrel{´}{}=E_{03}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ \end{array}$

Für die Tangentialkomp.:

$E_{02}+E_{02}\stackrel{´}{}=E_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Mit

${\overline{B}}_0=\frac{c}{\omega }\overline{k}\times {\overline{E}}_0=\frac{c}{\omega }{E}_{02}\left(\begin{array}{c}-k_3\\ 0\\ k_1\\ \end{array}\right)$

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

$B_{01}+B_{01}\stackrel{´}{}=B_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\Rightarrow k_3{E}_{02}+k_3\stackrel{´}{}E{\stackrel{´}{}}_{02}=k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{E}_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

mit dem Reflexionsgesetz.

$k_3=-k_3\stackrel{´}{}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow k_3(E_{02}-E{\stackrel{´}{}}_{02})=k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(E_{02}+E_{02}\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{k_3-k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{2k_3}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ \end{array}$

Man muss nun nur

$k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

über den Brechungswinkel

$\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

$\begin{array}{rl}& k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\frac{n_2}{n_1}\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ & \Rightarrow k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & k_3=\left|\overline{k}\right|\cos \gamma \\ \end{array}$

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

$\begin{array}{rl}& \frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\sin \gamma \cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{\cos \gamma \sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\sin \gamma \cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}=\frac{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{2k_3}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}=\frac{2\sin \left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right)\cos \gamma }{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ \end{array}$

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

$⟨\overline{S}⟩=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}dt(\overline{E}\times \overline{H})$

Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)

$\begin{array}{rl}& R_{\mathrm{\perp }}={\left|\frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}\right|}^2=\frac{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \\ \end{array}$

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

$T_{\mathrm{\perp }}={\left|\frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}\right|}^2=\frac{4{\sin }^2\left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right){\cos }^2\gamma }{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}=1-R_{\mathrm{\perp }}$

1. Polarisation von
2. $\overline{E}\left|\right|$
3. Einfallsebene:

Dadurch:

$\overline{B}\mathrm{\perp }$

Einfallsebene

• Analoge Argumentation:

$\begin{array}{rl}& B_{01}=B_{01}\stackrel{´}{}=B_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & B_{03}=B_{03}\stackrel{´}{}=B_{03}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & B_{02}+B_{02}\stackrel{´}{}=B_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

$\begin{array}{rl}& \frac{E{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}=\frac{\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}=\frac{2\sin \left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right)\cos \gamma }{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )\cos (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}\\ \end{array}$

Ebenso:

$\begin{array}{rl}& R_{\left|\right|}={\left|\frac{E{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}\right|}^2=\frac{{\tan }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{{\tan }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}=1-T_{\left|\right|}\\ & \\ \end{array}$

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

$\begin{array}{rl}& \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma =\frac{\pi }{2}\\ & ->\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )\to \mathrm{\infty }\\ & R_{\left|\right|}=0\\ \end{array}$

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)

• Dies ist der Brewsterwinkel:
• $\begin{array}{rl}*& \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left({\gamma }_{Brew}\right)\\ *& \tan {\gamma }_B=\sqrt{\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}\\ *\end{array}$

Totalreflexion Sei

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_2<{\epsilon }_1\\ & \sin {\gamma }_G=\sqrt{\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}\\ \end{array}$

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher!

Grenzwinkel der Totalreflexion →

$\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\frac{\pi }{2}$

$\begin{array}{rl}& R_{\mathrm{\perp }}=R_{\left|\right|}=1\\ & T_{\mathrm{\perp }}=T_{\left|\right|}=0\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_2<{\epsilon }_1\\ & \gamma >{\gamma }_G\Rightarrow \\ \end{array}$

$k\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

wird imaginär → es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein!