Brechung und Reflexion

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Brechung und Reflexion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:


Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent →

εi∈R
ωc1=|k¯|=|k¯ ´|=ω ´c1|k¯ ´ ´|=ω ´ ´c2ci=cni=cεii=1,2E¯(r¯,t)=E¯0ei(k¯r¯−ωt)

Einfallende Welle:

E¯(r¯,t)=E¯0ei(k¯r¯−ωt)

Reflektierte Welle:

E¯ ´(r¯,t)=E¯0 ´ei(k¯ ´r¯−ω ´t)

Transmittierte Welle:

E¯ ´ ´(r¯,t)=E¯0 ´ ´ei(k¯ ´ ´r¯−ω ´ ´t)

Grenzbedingungen für

E¯(r¯,t).
Annahme: linear polarisiert:
E1+E1 ´|x3=0=E1 ´ ´|x3=0

→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

E¯01eiωt+E¯01 ´eiω ´t=E¯01 ´ ´eiω ´ ´t⇒ω=ω ´=ω ´ ´E¯01+E¯01 ´=E¯01 ´ ´

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

E01eik1x1+E01 ´eik ´1x1=E01 ´ ´eik1 ´ ´x1

Also:

k1=k1 ´=k1 ´ ´

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

|k¯|sin⁡γ=|k¯ ´|sin⁡γ ´=|k¯ ´ ´|sin⁡γ ´ ´|k¯|=ωc1|k¯ ´|=ωc1|k¯ ´ ´|=ωc2

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

sin⁡γ=sin⁡γ ´sin⁡γ ´ ´sin⁡γ=c2c1=n1n2

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

  1. Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

E01=E01 ´=E01 ´ ´=0E03=E03 ´=E03 ´ ´=0

Für die Tangentialkomp.:

E02+E02 ´=E02 ´ ´

Mit

B¯0=cωk¯×E¯0=cωE02(−k30k1)

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

B01+B01 ´=B01 ´ ´⇒k3E02+k3 ´E ´02=k3 ´ ´E02 ´ ´

mit dem Reflexionsgesetz.

k3=−k3 ´
⇒k3(E02−E ´02)=k3 ´ ´(E02+E02 ´)⇒E ´02E02=k3−k3 ´ ´k3+k3 ´ ´E ´ ´02E02=2k3k3+k3 ´ ´

Man muss nun nur

k3 ´ ´

über den Brechungswinkel

γ ´ ´

ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

k3 ´ ´=|k¯ ´ ´|cos⁡γ ´ ´=|k¯ ´|n2n1cos⁡γ ´ ´n2n1=sin⁡γsin⁡γ ´ ´⇒k3 ´ ´=|k¯ ´ ´|cos⁡γ ´ ´=|k¯ ´|sin⁡γsin⁡γ ´ ´cos⁡γ ´ ´k3=|k¯|cos⁡γ

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

E ´02E02=cos⁡γsin⁡γ ´ ´−sin⁡γcos⁡γ ´ ´cos⁡γsin⁡γ ´ ´+sin⁡γcos⁡γ ´ ´=sin⁡(γ ´ ´−γ)sin⁡(γ ´ ´+γ)E ´ ´02E02=2k3k3+k3 ´ ´=2sin⁡(γ ´ ´)cos⁡γsin⁡(γ ´ ´+γ)

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

⟨S¯⟩=1T∫0Tdt(E¯×H¯)

Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)

R⊥=|E ´02E02|2=sin2(γ ´ ´−γ)sin2(γ ´ ´+γ)

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

T⊥=|E ´ ´02E02|2=4sin2(γ ´ ´)cos2γsin2(γ ´ ´+γ)=1−R⊥
  1. Polarisation von
  2. E¯||
  3. Einfallsebene:

Dadurch:

B¯⊥

Einfallsebene

  • Analoge Argumentation:
B01=B01 ´=B01 ´ ´=0B03=B03 ´=B03 ´ ´=0B02+B02 ´=B02 ´ ´

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

E ´||E||=tan⁡(γ ´ ´−γ)tan⁡(γ ´ ´+γ)E ´ ´||E||=2sin⁡(γ ´ ´)cos⁡γsin⁡(γ ´ ´+γ)cos⁡(γ ´ ´−γ)

Ebenso:

R||=|E ´||E|||2=tan2(γ ´ ´−γ)tan2(γ ´ ´+γ)=1−T||

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

γ ´ ´+γ=π2−>tan⁡(γ ´ ´+γ)→∞R||=0

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)

  • Dies ist der Brewsterwinkel:
  • ∗γ ´ ´+γ=π2−>γ=(γBrew)∗tan⁡γB=ε2ε1∗

Totalreflexion Sei

ε2<ε1sin⁡γG=ε2ε1

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher!

Grenzwinkel der Totalreflexion →

γ ´ ´=π2
R⊥=R||=1T⊥=T||=0
ε2<ε1γ>γG⇒
k ´ ´

wird imaginär → es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein!

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