Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:20 Uhr

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Erregungsgleichungen)

\begin{aligned} ε_{0} \nabla \cdot \bar{E} = ρ \\ \Leftrightarrow \partial_{1} E^{1} + \partial_{2} E^{2} + \partial_{3} E^{3} = \frac{1}{ε_{0} c} c ρ \\ \Leftrightarrow \partial_{1} F^{10} + \partial_{2} F^{20} + \partial_{3} F^{30} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \\ \Leftrightarrow \partial_{ν} F^{ν 0} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \\ w e g e n \partial_{0} F^{00} = 0 \\ a u c h \partial_{i} F^{i 0} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \end{aligned}

$\nabla \times \bar{B} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \bar{E} = μ_{0} (\nabla \times \bar{H} - ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} \bar{E}) = μ_{0} \bar{j}$

Komponente

\begin{aligned} \partial_{2} B^{3} - \partial_{3} B^{2} = μ_{0} j^{1} + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} E^{1} \\ μ_{0} c = \frac{1}{ε_{0} c} \\ \Leftrightarrow \partial_{2} F^{21} - . \partial_{3} F^{13} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} + . \partial_{0} F^{10} \\ \partial_{2} F^{21} + \partial_{3} F^{31} + \partial_{0} F^{01} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} \\ \Leftrightarrow \partial_{ν} F^{ν 1} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} \\ w e g e n \partial_{1} F^{11} = 0 \end{aligned}

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms (Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

\begin{aligned} \partial_{ν} F^{μ ν} = - \frac{1}{ε_{0} c} j^{μ} \\ \partial_{ν} F^{ν μ} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{μ} \end{aligned}

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors!

Bemerkungen

die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

{F_{μ ν}} = {\partial_{μ} Φ_{ν} - \partial_{ν} Φ_{μ}} = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{c} E_{x} & \frac{1}{c} E_{y} & \frac{1}{c} E_{z} \\ - \frac{1}{c} E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ - \frac{1}{c} E_{y} & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ - \frac{1}{c} E_{z} & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix})

automatisch erfüllt:

\begin{aligned} ε^{α β μ ν} \partial_{β} F_{μ ν} = ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} - ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} \\ ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} = 0, \\ d a : \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} s y m m e t r i s c h \\ ε^{α β μ ν} a n t i s y m m e t r i s c h \\ ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} = 0 \end{aligned}

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

\partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} - \partial_{β} \partial^{ν} Φ^{β} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν}

folgt mit Lorentz- Eichung

\partial_{μ} Φ^{μ} = 0

\begin{aligned} \partial_{β} \partial^{ν} Φ^{β} = \partial^{ν} \partial_{β} Φ^{β} = 0 \\ a l s o : \end{aligned}

\partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν}

als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

\begin{aligned} ε^{α β μ ν} \partial_{β} F_{μ ν} = ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} - ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} = 0 \\ \partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν} \end{aligned}

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null!!

Gauß- System:

\partial_{β} F^{β ν} = \frac{4 π}{c} j^{ν}

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 <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|3}}</noinclude>
-  ( Erregungsgleichungen)
+  (Erregungsgleichungen)
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho  \\
 & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho  \\
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 # Komponente
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
 & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
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 \end{align}</math>
-Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
+Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms (Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
 & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
 \end{align}</math>
-Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
+Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors!
 '''Bemerkungen'''
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 # die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
-<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
+:<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
 -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
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 automatisch erfüllt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
 & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
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 Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
+:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
 folgt mit Lorentz- Eichung
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
+:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
 & also: \\
 \end{align}</math>
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
+:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
 als inhomogene Wellengleichung
 '''Die Maxwellgleichungen'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
 & {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
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 sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
-Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
+Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null!!
 <u>'''Gauß- System:'''</u>
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>
+:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>

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