Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Erregungsgleichungen)

\begin{matrix} ε_{0} \nabla \cdot \bar{E} = ρ \\ \Leftrightarrow \partial_{1} E^{1} + \partial_{2} E^{2} + \partial_{3} E^{3} = \frac{1}{ε_{0} c} c ρ \\ \Leftrightarrow \partial_{1} F^{10} + \partial_{2} F^{20} + \partial_{3} F^{30} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \\ \Leftrightarrow \partial_{ν} F^{ν 0} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \\ w e g e n \partial_{0} F^{00} = 0 \\ a u c h \partial_{i} F^{i 0} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \end{matrix}

$\nabla \times \bar{B} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \bar{E} = μ_{0} (\nabla \times \bar{H} - ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} \bar{E}) = μ_{0} \bar{j}$

Komponente

\begin{matrix} \partial_{2} B^{3} - \partial_{3} B^{2} = μ_{0} j^{1} + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} E^{1} \\ μ_{0} c = \frac{1}{ε_{0} c} \\ \Leftrightarrow \partial_{2} F^{21} - . \partial_{3} F^{13} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} + . \partial_{0} F^{10} \\ \partial_{2} F^{21} + \partial_{3} F^{31} + \partial_{0} F^{01} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} \\ \Leftrightarrow \partial_{ν} F^{ν 1} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{1} \\ w e g e n \partial_{1} F^{11} = 0 \end{matrix}

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms (Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

\begin{matrix} \partial_{ν} F^{μ ν} = - \frac{1}{ε_{0} c} j^{μ} \\ \partial_{ν} F^{ν μ} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{μ} \end{matrix}

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors!

Bemerkungen

die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

{F_{μ ν}} = {\partial_{μ} Φ_{ν} - \partial_{ν} Φ_{μ}} = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{c} E_{x} & \frac{1}{c} E_{y} & \frac{1}{c} E_{z} \\ - \frac{1}{c} E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ - \frac{1}{c} E_{y} & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ - \frac{1}{c} E_{z} & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix})

automatisch erfüllt:

\begin{matrix} ε^{α β μ ν} \partial_{β} F_{μ ν} = ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} - ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} \\ ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} = 0, \\ d a : \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} s y m m e t r i s c h \\ ε^{α β μ ν} a n t i s y m m e t r i s c h \\ ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} = 0 \end{matrix}

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

\partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} - \partial_{β} \partial^{ν} Φ^{β} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν}

folgt mit Lorentz- Eichung

\partial_{μ} Φ^{μ} = 0

\begin{matrix} \partial_{β} \partial^{ν} Φ^{β} = \partial^{ν} \partial_{β} Φ^{β} = 0 \\ a l s o : \end{matrix}

\partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν}

als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

\begin{matrix} ε^{α β μ ν} \partial_{β} F_{μ ν} = ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{μ} Φ_{ν} - ε^{α β μ ν} \partial_{β} \partial_{ν} Φ_{μ} = 0 \\ \partial_{β} F^{β ν} = \partial_{β} \partial^{β} Φ^{ν} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{ν} \end{matrix}

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null!!

Gauß- System:

\partial_{β} F^{β ν} = \frac{4 π}{c} j^{ν}

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

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