Relativistisches Hamiltonprinzip

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Relativistisches Hamiltonprinzip basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

\begin{matrix} δ W = 0 \\ W = \int_{1}^{2} d s \end{matrix}

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig:

{δ x^{i} |}_{1, 2} = 0

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

W = - m_{0} c \int_{1}^{2} d s

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

\begin{matrix} (ϕ^{i}) (x^{j}) \\ \Rightarrow \end{matrix}

W = \int_{1}^{2} {- m_{0} c d s - ϕ^{i} d x_{i}}

mit den Lorentz- Invarianten

m_{0} c d s

und

ϕ^{i} d x_{i}

Variation:

δ W = \int_{1}^{2} {- m_{0} c δ (d s) - δ (ϕ^{μ} d x_{μ})}

Nun:

\begin{matrix} δ (d s) = δ {(d x^{μ} d x_{μ})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{(d δ x^{μ}) d x_{μ} + d x^{μ} (d δ x_{μ})}{d s} \\ (d δ x^{μ}) d x_{μ} = d x^{μ} (d δ x_{μ}) \\ = \frac{d x^{μ}}{d s} (d δ x_{μ}) = u^{μ} (d δ x_{μ}) \end{matrix}

Außerdem:

δ (ϕ^{μ} d x_{μ}) = δ ϕ^{μ} d x_{μ} + ϕ^{μ} d (δ x_{μ})

Somit:

δ W = \int_{1}^{2} {- m_{0} c u^{μ} (d δ x_{μ}) - δ ϕ^{μ} d x_{μ} - ϕ^{μ} d (δ x_{μ})}

Weiter mit partieller Integration:

\begin{matrix} \int_{1}^{2} - m_{0} c u^{μ} d (δ x_{μ}) = {[- m_{0} c u^{μ} (δ x_{μ})]}_{1}^{2} + \int_{1}^{2} m_{0} c d u^{μ} (δ x_{μ}) \\ {[- m_{0} c u^{μ} (δ x_{μ})]}_{1}^{2} = 0, w e i l δ {x_{μ}}_{1}^{2} = 0 \\ \Rightarrow \int_{1}^{2} - m_{0} c u^{μ} d (δ x_{μ}) = \int_{1}^{2} m_{0} c d u^{μ} (δ x_{μ}) = \int_{1}^{2} m_{0} c \frac{d u^{μ}}{d s} (δ x_{μ}) d s \end{matrix}

Weiter:

\int_{1}^{2} - ϕ^{μ} d (δ x_{μ}) = - {[ϕ^{μ} δ x_{μ}]}_{1}^{2} + \int_{1}^{2} d ϕ^{μ} (δ x_{μ})

Mit

\begin{matrix} d ϕ^{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} d x_{ν} = \partial^{ν} ϕ^{μ} u_{ν} d s \\ δ ϕ^{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} δ x_{ν} \\ δ ϕ^{μ} d x_{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} δ x_{ν} d x_{μ} = i < - > k = \partial^{μ} ϕ^{ν} δ x_{μ} d x_{ν} = \partial^{μ} ϕ^{ν} u_{ν} δ x_{μ} d s \end{matrix}

Einsetzen in

δ W = \int_{1}^{2} {- m_{0} c u^{μ} (d δ x_{μ}) - δ ϕ^{μ} d x_{μ} - ϕ^{μ} d (δ x_{μ})}

liefert:

δ W = \int_{1}^{2} {m_{0} c \frac{d u^{μ}}{d s} - (\partial^{μ} ϕ^{ν} - \partial^{ν} ϕ^{μ}) u_{ν}} δ x_{μ}

Wegen

\begin{matrix} δ W = \int_{1}^{2} {m_{0} c \frac{d u^{μ}}{d s} - (\partial^{μ} ϕ^{ν} - \partial^{ν} ϕ^{μ}) u_{ν}} δ x_{μ} = 0 \\ m_{0} c \frac{d u^{μ}}{d s} = (\partial^{μ} ϕ^{ν} - \partial^{ν} ϕ^{μ}) u_{ν} := f^{μ ν} u_{ν} \\ f^{μ ν} = (\partial^{μ} ϕ^{ν} - \partial^{ν} ϕ^{μ}) \end{matrix}

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

\begin{matrix} p^{μ} = m_{0} c u^{μ} \\ f^{μ ν} = \frac{q}{c} F^{μ ν} = (\partial^{μ} ϕ^{ν} - \partial^{ν} ϕ^{μ}) \\ ϕ^{μ} = \frac{q}{c} Φ^{μ} \\ \frac{d}{d s} p^{μ} = \frac{q}{c} F^{μ ν} u_{ν} \Leftrightarrow δ W = δ \int_{1}^{2} {- m_{0} c d s - \frac{q}{c} Φ^{μ} d x_{μ}} = 0 \end{matrix}

Man bestimmt die Ortskomponenten

α = 1, 2, 3

über

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \bar{p} = q (\bar{E} + \bar{v} \times \bar{B}) \end{matrix}

überein, denn mit

\begin{matrix} u^{0} = γ \\ u^{α} = \frac{γ}{c} v^{α} = - u_{α} \end{matrix}

folgt dann:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} p^{1} = q (E^{1} + v^{2} B^{3} - v^{3} B^{2}) \\ = q (F^{10} + F^{21} \frac{1}{c} v^{2} - F^{13} \frac{1}{c} v^{3}) \\ = \frac{q}{γ} (F^{10} γ + F^{21} \frac{γ}{c} v^{2} - F^{13} \frac{γ}{c} v^{3}) = \frac{q}{γ} F^{1 μ} u_{μ} \end{matrix}

mit

d s = \frac{c}{γ} d t

\frac{d}{d s} p^{1} = \frac{q}{c} F^{1 μ} u_{μ}

Die zeitartige Komponente

μ = 0

gibt wegen

p^{0} = \frac{E}{c}

\begin{matrix} \frac{d}{d s} \frac{E}{c} = \frac{γ}{c^{2}} \frac{d E}{d t} = \frac{q}{c} (F^{01} u_{1} + F^{02} u_{2} + F^{03} u_{3}) = \\ = \frac{q γ}{c^{2}} (- E^{1} v_{1} - E^{2} v_{2} - E^{3} v_{3}) = \frac{q γ}{c^{2}} (E^{1} v^{1} + E^{2} v^{2} + E^{3} v^{3}) \\ \frac{d E}{d t} = q \bar{E} \cdot \bar{v} \end{matrix}

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit

Relativistisches Hamiltonprinzip

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