Relativistisches Hamiltonprinzip

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Relativistisches Hamiltonprinzip basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

$\begin{array}{rl}& \delta W=0\\ & W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds\\ \end{array}$

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig:

${\delta x^i|}_{1,2}=0$

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

$W=-m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds$

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

$\begin{array}{rl}& \left({\varphi }^i\right)(x^j)\\ & \Rightarrow \\ \end{array}$

$W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}cds-{\varphi }^{i}d{x}_i\}$

mit den Lorentz- Invarianten

$m_{0}cds$ und ${\varphi }^{i}d{x}_i$

Variation:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c\delta \left(ds\right)-\delta \left({\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }\right)\}$

Nun:

$\begin{array}{rl}& \delta \left(ds\right)=\delta {\left(d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{\left(d\delta x^{\mu }\right)d{x}_{\mu }+d{x}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)}{ds}\\ & \left(d\delta x^{\mu }\right)d{x}_{\mu }=d{x}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)\\ & =\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\left(d\delta x_{\mu }\right)=u^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)\\ \end{array}$

Außerdem:

$\delta \left({\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }\right)=\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }+{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)$

Somit:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c{u}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)-\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)\}$

Weiter mit partieller Integration:

$\begin{array}{rl}& \underset{1}{\overset{2}{\int }}-m_{0}c{u}^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)={[-m_{0}c{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)]}_1^2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}cd{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)\\ & {[-m_{0}c{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)]}_1^2=0,weil\delta {x_{\mu }}_1^2=0\\ & \Rightarrow \underset{1}{\overset{2}{\int }}-m_{0}c{u}^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}cd{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}\left(\delta x_{\mu }\right)ds\\ \end{array}$

Weiter:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)=-{\left[{\varphi }^{\mu }\delta x_{\mu }\right]}_1^2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{\varphi }^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)$

Mit

$\begin{array}{rl}& d{\varphi }^{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }d{x}_{\nu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }{u}_{\nu }ds\\ & \delta {\varphi }^{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }\delta x_{\nu }\\ & \delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }\delta x_{\nu }d{x}_{\mu }=i<->k={\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }\delta x_{\mu }d{x}_{\nu }={\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }{u}_{\nu }\delta x_{\mu }ds\\ \end{array}$

Einsetzen in

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c{u}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)-\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)\}$

liefert:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}-({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }\}\delta x_{\mu }$

Wegen

$\begin{array}{rl}& \delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}-({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }\}\delta x_{\mu }=0\\ & m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }:=f^{\mu \nu }{u}_{\nu }\\ & f^{\mu \nu }=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })\\ \end{array}$

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

$\begin{array}{rl}& p^{\mu }=m_{0}c{u}^{\mu }\\ & f^{\mu \nu }=\frac{q}{c}{F}^{\mu \nu }=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })\\ & {\varphi }^{\mu }=\frac{q}{c}{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\\ & \frac{d}{ds}{p}^{\mu }=\frac{q}{c}{F}^{\mu \nu }{u}_{\nu }\iff \delta W=\delta \underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}cds-\frac{q}{c}{\mathrm{\Phi }}^{\mu }d{x}_{\mu }\}=0\\ \end{array}$

Man bestimmt die Ortskomponenten

$\alpha =1,2,3$

über

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\overline{p}=q(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})\\ & \\ \end{array}$

überein, denn mit

$\begin{array}{rl}& u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }=-u_{\alpha }\\ \end{array}$

folgt dann:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}{p}^1=q(E^1+v^2{B}^3-v^3{B}^2)\\ & =q(F^{10}+F^{21}\frac{1}{c}{v}^2-F^{13}\frac{1}{c}{v}^3)\\ & =\frac{q}{\gamma }(F^{10}\gamma +F^{21}\frac{\gamma }{c}{v}^2-F^{13}\frac{\gamma }{c}{v}^3)=\frac{q}{\gamma }{F}^{1\mu }{u}_{\mu }\\ \end{array}$ mit $ds=\frac{c}{\gamma }dt$

$\frac{d}{ds}{p}^1=\frac{q}{c}{F}^{1\mu }{u}_{\mu }$

Die zeitartige Komponente

$\mu =0$

gibt wegen

$p^0=\frac{E}{c}$

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{c^2}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}(F^{01}{u}_1+F^{02}{u}_2+F^{03}{u}_3)=\\ & =\frac{q\gamma }{c^2}(-E^1{v}_1-E^2{v}_2-E^3{v}_3)=\frac{q\gamma }{c^2}(E^1{v}^1+E^2{v}^2+E^3{v}^3)\\ & \frac{dE}{dt}=q\overline{E}\cdot \overline{v}\\ \end{array}$

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit