Aufgaben der statistischen Physik

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Aufgaben der statistischen Physik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 0.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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• bisher: klassisch und quantenmechanisch nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert von der Umgebung
• in der realen Welt: Vielkörperprobleme mit Wechselwirkung. Makroskopische Systeme
  • Gase: ${10}^{23}$ Teilchen pro Liter
  • Festkörper: ${10}^{26}$ Teilchen pro Kilogramm

Ziel: Beschreibung von Makroskopischen Systemen

Beschreibung von Systemen, die auch mit der Umgebung wechselwirken können.

Die Zahl der Freiheitsgrade ist zu groß für eine exakte Beschreibung

Alternative:

Angabe von Wahrscheinlichkeiten $\left\{w_i\right\}$, mit denen ein Zustand $\left({\mathrm{\Psi }}_i\right)$ angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen. Mit $\left\{w_i\right\}$ können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...

Statistik

Ableitung von makroskopischen Saystemgrößen wie Druck, für Vielteilchensysteme (Abkürzung:VTS) aus der mikroskopischen Mechanik oder Quantentheorie

Die Behandlung der VTS erfolgt dann statistisch, also auf der Grundlage von Wahrscheinlichkeiten, mit denen verschiedene Zustände eines Systems durchlaufen werden.

Beispiel: Gas Exakte Lösung wäre: ${\overline{r}}_i(t),{\overline{p}}_i(t)$. Man müsste die Bahnkurve jedes Teilchens kennen (mikroskopische Information). Im Rahmen der Statistik werden makroskopische Infos gesucht, wie der Druck auf eine Wand! Im Experiment wird dann der Druck auf eine Wand im Zeitmittel gemessen. Es liegen aber durchaus Fluktuationen vor (hinsichtlich der Zahl der auftreffenden Teilchen). Zeitmittel der Observable $\overline{F}$ ${⟨\overline{F}⟩}_t$

Theoretischer Ansatz:

${⟨\overline{F}⟩}_t=\sum _i{w}_i{\overline{F}}_i$

Mit dem sogenannten Ensemblemittel $\sum _i{w}_i{\overline{F}}_i$.

Dabei kennzeichnet $w_i$ die Wahrscheinlichkeit einer Momentaufnahme (Also die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zählrate)

$\sum _i{w}_i{\overline{F}}_i$ bildet dann die Summe aller möglichen Momentaufnahmen mit ihrem jeweiligen statistischen Gewicht.

Der Zustand, die Größe der jeweiligen Momentaufnahme i ist ${\overline{F}}_i$.

Es sind 2 Gebiete wichtig:

Gleichgewichtsstatistik: Wenn man ein VTS sich selbst überläßt, so streben alle makroskopisch messbaren Größen gegen zeitlich konstante Werte. Dies ist der Gleichgewichtszustand. Die makroskopischen Größen heißen Zustandsgrößen.

Thermodynamik:makroskopische Beschreibung der Gleichgewichtseigenschaften mit den Hauptsätzen der Thermodynamik (TD). Die Hauptsätze der Thermodynamik werden aus der statistischen Physik abgeleitet.

Nichtgleichgewichtsstatistik: ein offenes System kann durch zeitabhängige Felder aus dem Gleichgewichtszustand gebracht werden. Wird das System dann sich selbst überlassen, so erfolgt die Relaxation zurück in den Gleichgewichtszustand.

Wichtige Begriffe:

Reiner Zustand

Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung (näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.

Gemischter Zustand

(statistische Physik) Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit $\left\{w_i\right\}$zur Beschreibung genutzt werden.

$w_i$ wird dabei von der Umgebung vorgegeben (z.B. Temperatur).

Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit $\left\{w_i\stackrel{´}{}\right\}$ bekannt.

Erwartungswerte/ Mittelwerte:

Zeitlicher Mittelwert eines Erwartungswertes

${⟨⟨\overline{F}⟩⟩}_t=\sum _i{w}_i⟨{\mathrm{\Psi }}_i|{\overline{F}}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩$
Mit der statistischen Mittelung über Umgebung und Anfangsbedingungen:

$\sum _i{w}_i...$

Und der quantenmechanischen Bildung des Erwartungswertes

$⟨{\mathrm{\Psi }}_i|{\overline{F}}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩$

Für eine feste Observable (Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):

$⟨⟨\overline{F}⟩⟩=\sum _i{w}_i⟨{\mathrm{\Psi }}_i|\overline{F}|{\mathrm{\Psi }}_i⟩$

Alle $w_i$ sollten nach Möglichkeit zeitunabhängig sein. Sie sind durch die Umgebung oder die Anfangsbedingungen vorgegeben.

Definition der Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit $w_i$ eines Ereignisses im Zustand i :

$\begin{array}{c}\lim \\ N\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{w}_i=\frac{N_i}{N}$

N: Zahl der Versuche

$N_i$: Zahl, wie oft das Ereignis aufgetreten ist.

Statistisches Ensemble

Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils $N_i$ im Zustand i sind. Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte Ensemblemittel.

Arten der Mittelung

Zeitmittel

Das betrachtete System wird N mal über einen festen Zeitraum untersucht

Ensemblemittel

N Systeme werden zu einem festen Zeitpunkt untersucht.

Beispiel: Gas Wechselwirkung des VTS, Geschwindigkeitsverteilung eines Teilchens: Wahrscheinlichkeit $w_i$, mit der das Teilchen die Energie ${\epsilon }_i$ hat. Zeitmittel Man würde in einem Gas N mal hintereinander ein Teilchen beobachten Ensemblemittel N Gase nebeneinander zu einem festen Zeitpunkt untersuchen.

Systeme, in denen das Zeitmittel (experimentell) durch das Ensemblemittel ersetzt werden können, heißen ergodische Systeme (Ergodenhypothese).

Im Allgemeinen erfüllen wechselwirkende VTS die Ergodenhypothese

Mikrozustand:

• vollständige klassische oder quantentheoretische Angabe des Zustandes zu einer bestimmten Zeit t (aller Freiheitsgrade = Mikroobservable)
• Beispiele:
  • klassisch: Radiusvektor und Impulsvektor als Phasenraumtrajektorie für i=1...N
  • quantenmechanisch: $\begin{array}{rl}& ⟨s_1,...,s_N|\alpha ,t⟩\\ & s_i=\pm \frac{1}{2}\\ \end{array}$
  • Spin- Eigenzustand: Anzahl der möglichen Mikrozustände in diesem Fall bei N Teilchen: $2^N$

Makrozustand

(= thermodynamischer Zustand) Beschreibung durch typische makroskopische Observablen (Messgrößen):

1. Arbeitskoordinaten (äußere Parameter):
   • Volumen
   • elektrische und
   • magnetische Felder
2. Innere Systemkoordinaten (als makroskopische Mittelwerte von Mikroobservablen):
   • Energie
   • Impuls
   • elektrische Polarisation
   • Magnetisierung

Thermodynamik →Informationsreduzierung der Kenntnis des Mikrozustandes auf Makrozustand durch zeitliche Mittelung bzw. Ensemble- Mittelung!