Wahrscheinlichkeitsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen
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A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math> | A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math> | ||
'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)''' | '''Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)''' | ||
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N ist die Zahl der Experimente insgesamt | N ist die Zahl der Experimente insgesamt | ||
====axiomatische Definition ( Kolmogoroff)==== | ====axiomatische Definition (Kolmogoroff)==== | ||
Sei A<math>\in A\acute{\ }</math> | Sei A<math>\in A\acute{\ }</math> | ||
( Boolscher Verband) | (Boolscher Verband) | ||
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Speziell | Speziell | ||
:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math> | :<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>, | ||
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====bedingte Wahrscheinlichkeit==== | ====bedingte Wahrscheinlichkeit==== | ||
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ( A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß | Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß | ||
Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist ! | Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist! | ||
:<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math> | :<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math> | ||
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Eine Zufallsvariable ist gegeben durch | Eine Zufallsvariable ist gegeben durch | ||
# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen ( sample set) <math>{{X}_{i}}</math> | # eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set) <math>{{X}_{i}}</math> | ||
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# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math> | # eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math> | ||
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:<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math> | :<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math> | ||
Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math> | Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>, | ||
so gilt: | so gilt: | ||
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:<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math> | :<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math> | ||
definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math> | definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>. | ||
Übergang zu diskreten Ereignissen: | Übergang zu diskreten Ereignissen: | ||
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:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math> | :<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math> | ||
'''Mittelwert ( Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x: | '''Mittelwert (Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x: | ||
:<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math> | :<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math> | ||
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Beweis: | Beweis: | ||
Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert ! | Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert! | ||
Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden. | Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden. | ||
Die Einführung einer Symplektik ist nötig ! ( siehe unten). | Die Einführung einer Symplektik ist nötig! (siehe unten). | ||
====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten==== | ====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten==== | ||
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Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt ! | Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt! | ||
====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:==== | ====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:==== | ||
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Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen | Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen | ||
( Dies gilt nicht für die Momente !!) | (Dies gilt nicht für die Momente!!) | ||
'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:''' | '''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:''' | ||
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Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. | Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. | ||
Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung ! Siehe oben | Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben | ||
* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente | * Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente | ||
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Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math> | Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math> | ||
ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math> | ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>. | ||
Alle höheren Kumulanten verschwinden! |
Aktuelle Version vom 16. September 2010, 22:08 Uhr
Kein GFDL | Der Artikel Wahrscheinlichkeitsbegriff basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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- Ereignis
- Messergebnis von Observablen (event) oder fester Mikrozustand (der realisiert wird).
Ereignisse bilden einen Abelschen Verband (Ereignisalgebra)
Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband
mit Mengentheoretischen Verknüpfungen
Vereinigung (oder) und Durchschnitt (und)
(Kommutativitätsgesetz)
Assoziativität
(Verschmelzungsgesetz)
Distributivgesetz
Existenz der Eins (sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: "leeres Ereignis"
Existenz des Komplements
Induzierte Halbordnung
Also: menge A liegt in B
Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)
Beispiel:
Ereignismenge
Bemerkung: Diese Menge M ist keine Algebra, da
Wahrscheinlichkeit
Empirische Definition
mit
relative Häufigkeit des Ereignisses A
N(A) ist die Zahl der Experimente mit dem Ergebnis A
N ist die Zahl der Experimente insgesamt
axiomatische Definition (Kolmogoroff)
(Boolscher Verband)
Sei
das sichere Ereignis.
Dann erfüllt die Wahrscheinlichkeit P(A)
die Axiome:
Für disjunkte Ereignisse:
Folgerung
Zerlegung in disjunkte Ereignisse
für beliebige A1, A2:
Also folgt für Wahrscheinlichkeiten:
Also:
Speziell
falls
bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß
Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist!
Falls A von B unabhängig ist, so gilt:
Nebenbemerkung, ebenso gilt:
Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable ist gegeben durch
- eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set)
- eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
- über M
es gilt die Normierung
Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also ,
so gilt:
definiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung .
Übergang zu diskreten Ereignissen:
mit Normierung
Physikalische Interpretation
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich realisiert denken durch ein Ensemble von vielen äquivalenten Systemen, also durch eine Dichteverteilung
der Mitglieder des Ensembles mit Werten zwischen x und x+dx
Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen
Die Normierung geschieht dann in einem d- Dimensionalen Raum.
Mittelwert (Erwartungswert) einer Zufallsvariablen x:
für eine beliebige Funktion f(x):
Nebenbemerkung
Der Mittelwert ist ein lineares Funktional
Linearität:
Unkorrelierte Zufallsvariable:
x1 und x2 heißen unkorreliert, falls
Dann gilt:
Beweis:
Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert!
Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.
Die Einführung einer Symplektik ist nötig! (siehe unten).
Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten
Wir verstehen als n.tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Momentenerzeugende:
Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt!
Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:
ein Moment der Ordnung
Momentenerzeugende:
Kumulante
ist definiert durch die Kumulantenerzeugende:
Eigenschaft
Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen (Dies gilt nicht für die Momente!!)
Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:
Fluktuation:
mit
Bildung der Varianz:
Als Maß für die Breite einer Verteilung
Korrelationsmatrix:
Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben
- Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente
Zusammenhang zwischen Kumulanten und Momenten:
Gaußverteilung / Normalverteilung
Mit Sigma als Standardabweichung
Normierung:
Wegen:
Nebenbemerkung, die Gaußverteilung ist bestimmt durch .
Alle höheren Kumulanten verschwinden!