Thermodynamische Potenziale: Unterschied zwischen den Versionen
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<u>'''( vergl. § 2.3, 4.1)'''</u> | <u>'''(vergl. § 2.3, 4.1)'''</u> | ||
'''Ausgangspunkt''': Entropiegrundfunktion S(U,V,N) eines einfachen thermischen Systems | '''Ausgangspunkt''': Entropiegrundfunktion S(U,V,N) eines einfachen thermischen Systems | ||
'''Ziel: '''Bestimmung des Gleichgewichtszustandes für verschiedene Austauschprozesse aus dem {{FB|Extremalprinzip}} ( analog zum Potenzial in der Mechanik) | '''Ziel: '''Bestimmung des Gleichgewichtszustandes für verschiedene Austauschprozesse aus dem {{FB|Extremalprinzip}} (analog zum Potenzial in der Mechanik) | ||
Je nach Art der Austauschprozesse ergeben sich verschiedene Sätze der extensiven: ( S,U,V,N) und intensiven: <math>T,p,\mu </math> Größen als '''natürliche '''Variable, die experimentell kontrolliert werden (durch die Umgebung aufgeprägt) | Je nach Art der Austauschprozesse ergeben sich verschiedene Sätze der extensiven: (S,U,V,N) und intensiven: <math>T,p,\mu </math> Größen als '''natürliche '''Variable, die experimentell kontrolliert werden (durch die Umgebung aufgeprägt) | ||
Zugehörige thermodynamische Potenziale | Zugehörige thermodynamische Potenziale → ggf. Legendre- Trafo | ||
*der Entropiegrundfunktion <math>S\left( U,V,N \right)</math> ( unüblich) | *der Entropiegrundfunktion <math>S\left( U,V,N \right)</math> (unüblich) | ||
*der Energiegrundfunktion <math>U\left( S,V,N \right)</math> | *der Energiegrundfunktion <math>U\left( S,V,N \right)</math> | ||
====Gibbsche Fundamentalgleichung ( aus 1. + 2. Hauptsatz )==== | ====Gibbsche Fundamentalgleichung (aus 1. + 2. Hauptsatz)==== | ||
für reversible Prozesse: | für reversible Prozesse: | ||
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====Merkschema ( sogenanntes Guggenheimschema)==== | ====Merkschema (sogenanntes Guggenheimschema)==== | ||
[[File:Guggen.png|miniatur|Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Guggenheim-Quadrat]]] | [[File:Guggen.png|miniatur|Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Guggenheim-Quadrat]]] | ||
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'''Zusammenhang mit der Suszeptibilitätsmatrix''' | '''Zusammenhang mit der Suszeptibilitätsmatrix''' | ||
'''( § 1.3, S. 26)''' | '''(§ 1.3, S. 26)''' | ||
:<math>{{\eta }^{\mu \nu }}=\frac{\partial \left\langle {{M}^{\mu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\nu }}}=\frac{\partial \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}}=\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{\mu }}\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math> | :<math>{{\eta }^{\mu \nu }}=\frac{\partial \left\langle {{M}^{\mu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\nu }}}=\frac{\partial \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}}=\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{\mu }}\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math> | ||
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'''Zusammenhang zwischen '''<math>{{C}_{p}}</math> und <math>{{C}_{V}}</math> | '''Zusammenhang zwischen '''<math>{{C}_{p}}</math> und <math>{{C}_{V}}</math> | ||
( Übung !!): | (Übung!!): | ||
:<math>{{C}_{V}}={{C}_{p}}-\frac{TV{{\alpha }^{2}}}{{{\kappa }_{T}}}</math> | :<math>{{C}_{V}}={{C}_{p}}-\frac{TV{{\alpha }^{2}}}{{{\kappa }_{T}}}</math> | ||
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;freie Energie:Für isotherme, reversible Prozesse ist <math>dF=d\left( U-TS \right)=dU-TdS=-pdV=\delta {{W}_{r}}</math> (vorletzte Gleichheit über Gibbs Fundamentalgleichung) ist der Anteil der inneren Energie, der in (nutzbare) Arbeit umgewandelt werden kann | ;freie Energie:Für isotherme, reversible Prozesse ist <math>dF=d\left( U-TS \right)=dU-TdS=-pdV=\delta {{W}_{r}}</math> (vorletzte Gleichheit über Gibbs Fundamentalgleichung) ist der Anteil der inneren Energie, der in (nutzbare) Arbeit umgewandelt werden kann | ||
;Enthalpie:Für isobare, reversible Prozesse ist <math>dH=d\left( U+pV \right)=dU+pdV=Gibbs=TdS=\delta {{Q}_{r}}</math> ist die Erhöhung der inneren Energie durch zugeführte Wärme | ;Enthalpie:Für isobare, reversible Prozesse ist <math>dH=d\left( U+pV \right)=dU+pdV=Gibbs=TdS=\delta {{Q}_{r}}</math> ist die Erhöhung der inneren Energie durch zugeführte Wärme | ||
;Gibb´sche freie Energie:Für isobare, isotherms, reversible Prozesse mit Teilchenaustausch ( z.B. transport, chemische Reaktionen) ist <math>dG=d\left( U-TS+pV \right)=dU-TdS+pdV=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{\mu }_{\alpha }}d{{N}^{\alpha }}</math> ist die Änderung der inneren Energie durch Teilchenzahländerung verschiedenster (vorhandener Teilchen). | ;Gibb´sche freie Energie:Für isobare, isotherms, reversible Prozesse mit Teilchenaustausch (z.B. transport, chemische Reaktionen) ist <math>dG=d\left( U-TS+pV \right)=dU-TdS+pdV=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{\mu }_{\alpha }}d{{N}^{\alpha }}</math> ist die Änderung der inneren Energie durch Teilchenzahländerung verschiedenster (vorhandener Teilchen). | ||
Wegen der Extensivität der Entropie für homogene Makrosysteme | Wegen der Extensivität der Entropie für homogene Makrosysteme | ||
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für reine fluide Substanz ( Gas oder Flüssigkeit, nur eine Komponente, gilt): | für reine fluide Substanz (Gas oder Flüssigkeit, nur eine Komponente, gilt): | ||
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→ die molare Gibbsche freie Energie ist dem chemischen Potenzial gleich! | |||
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;{{FB|thermischen Zustandsgleichungen}} <math>p=p\left( T,V \right)</math> berechnet werden. | ;{{FB|thermischen Zustandsgleichungen}} <math>p=p\left( T,V \right)</math> berechnet werden. | ||
Wegen des 2. Hauptsatzes sind diese beiden Zustandsgleichungen '''nicht''' unabhängig ! | Wegen des 2. Hauptsatzes sind diese beiden Zustandsgleichungen '''nicht''' unabhängig! | ||
:<math>TdS=dU+pdV</math> Gibbsche Fundamentalgl. | :<math>TdS=dU+pdV</math> Gibbsche Fundamentalgl. | ||
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{{Beispiel|<u>'''Beispiel: '''</u> | {{Beispiel|<u>'''Beispiel: '''</u> | ||
ideales Gas:<math>pV=nRT</math> | ideales Gas:<math>pV=nRT</math> | ||
mit der Molzahl n ist volumenunabhängig !!}} | mit der Molzahl n ist volumenunabhängig!!}} |
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:56 Uhr
Der Artikel Thermodynamische Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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(vergl. § 2.3, 4.1)
Ausgangspunkt: Entropiegrundfunktion S(U,V,N) eines einfachen thermischen Systems
Ziel: Bestimmung des Gleichgewichtszustandes für verschiedene Austauschprozesse aus dem Extremalprinzip (analog zum Potenzial in der Mechanik)
Je nach Art der Austauschprozesse ergeben sich verschiedene Sätze der extensiven: (S,U,V,N) und intensiven: Größen als natürliche Variable, die experimentell kontrolliert werden (durch die Umgebung aufgeprägt)
Zugehörige thermodynamische Potenziale → ggf. Legendre- Trafo
Gibbsche Fundamentalgleichung (aus 1. + 2. Hauptsatz)
für reversible Prozesse:
Hieraus lassen sich die Zusammenhänge zwischen den Potenzialen und den Variablen gewinnen:
Durch zweimaliges Differenzieren nach den natürlichen Variablen gewinnt man die Maxwell-Relationen:
Merkschema (sogenanntes Guggenheimschema)
Dabei kann man versuchen, die Maxwell- Relationen direkt aus dem Schema auszulesen, oder aber man differenziert die Gibbschen Fundamentalrelationen der Potenziale zweimal (sicherer).
Ein negatives Vorzeichen muss man genau dann beachten, wenn man auf der Diagonalen von rechts nach links geht!
Maxwell- Relationen:
Schöll und vierzig weitere Beteiligte interpretierten das Guggenheimschema ähnlich aber doch ganz anders, nämlich:
Zusammenhang mit der Suszeptibilitätsmatrix (§ 1.3, S. 26)
Einige wichtige Suszeptibilitäten:
(Übung!!):
Physikalische Interpretation der thermodynamischen Potenziale
- freie Energie
- Für isotherme, reversible Prozesse ist (vorletzte Gleichheit über Gibbs Fundamentalgleichung) ist der Anteil der inneren Energie, der in (nutzbare) Arbeit umgewandelt werden kann
- Enthalpie
- Für isobare, reversible Prozesse ist ist die Erhöhung der inneren Energie durch zugeführte Wärme
- Gibb´sche freie Energie
- Für isobare, isotherms, reversible Prozesse mit Teilchenaustausch (z.B. transport, chemische Reaktionen) ist ist die Änderung der inneren Energie durch Teilchenzahländerung verschiedenster (vorhandener Teilchen).
Wegen der Extensivität der Entropie für homogene Makrosysteme
für reine fluide Substanz (Gas oder Flüssigkeit, nur eine Komponente, gilt):
bezogen auf ein Mol:
→ die molare Gibbsche freie Energie ist dem chemischen Potenzial gleich!
Berechnung der molaren Gibb´schen freien Energie:
Ideales Gas:
die ideale Gaskonstante Produkt aus Boltzmannkonstante und Advogadro- Zahl
Zustandsgleichungen
Aus oder können durch Substitution bzw. Differenziation die
- kalorischen Zustandsgleichungen
- und
- thermischen Zustandsgleichungen berechnet werden.
Wegen des 2. Hauptsatzes sind diese beiden Zustandsgleichungen nicht unabhängig!
Bilde
Maxwell- Relation:
Beispiel: |