Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

$|a_1,a_2,...,a_i,...,a_N⟩$

dabei ist $a_i$ der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator: ${\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....):=\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_j,...,{\overline{x}}_i,....)$

Ununterscheidbarkeit verlangt:

$\begin{array}{rl}& {\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....):=\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_j,...,{\overline{x}}_i,....)=e^{i\nu }\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2,...,{\overline{x}}_i,...,{\overline{x}}_j,....)\\ & {{\hat{P}}_{ij}}^2=\overline{\overline{1}}\\ \end{array}$

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit ${\hat{P}}_{ij}$ vertauschen, insbesondere

$[\hat{H},{\hat{P}}_{ij}]=0\Rightarrow {\hat{P}}_{ij}$ ist Erhaltungsgröße!

Es gilt:

${{\hat{P}}_{ij}}^2=\overline{\overline{1}}$

Somit folgt:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }={\lambda }_{ij}\mathrm{\Psi }\\ & {{\lambda }_{ij}}^2=1\\ \end{array}$

Wichtig:

${\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_2,{\overline{x}}_1)\right|}^2$

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! Also:

$\begin{array}{rl}& {\left|{\hat{P}}_{ij}\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_2,{\overline{x}}_1)\right|}^2={\left|\mathrm{\Psi }({\overline{x}}_1,{\overline{x}}_2)\right|}^2\Rightarrow {\left|{\lambda }_{ij}\right|}^2=1\\ & \Rightarrow {\lambda }_{ij}=\pm 1\\ \end{array}$

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte!

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: Sei $|a,b⟩={|a⟩}_1{|b⟩}_2\in H\times H$ Dann ist ${|a,b⟩}_s=\frac{1}{2}(1+{\hat{P}}_{12})|a,b⟩$ ein Eigenzustand von ${\hat{P}}_{12}$ zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand! denn: ${\hat{P}}_{12}{|a,b⟩}_s={\hat{P}}_{12}\frac{1}{2}(1+{\hat{P}}_{12})|a,b⟩=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}+{{\hat{P}}_{12}}^2)|a,b⟩=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}+1)|a,b⟩={|a,b⟩}_s$ und ${|a,b⟩}_a=\frac{1}{2}(1-{\hat{P}}_{12})|a,b⟩$ ist der antisymmetrische Zustand von ${\hat{P}}_{12}$z zum Eigenwert -1, denn: ${\hat{P}}_{12}{|a,b⟩}_a=\frac{1}{2}({\hat{P}}_{12}-1)|a,b⟩=-{|a,b⟩}_a$

N- Teilchensystem

Alle ${\hat{P}}_{\left(ij\right)}$ kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch (${\lambda }_{ij}=+1$)oder antisymmetrisch ${\lambda }_{ij}=-1$ sind!

Reduktion des Hilbertraumes $H\times H\times ...\times H$(N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also ${H_N}^{+}$) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also ${H_N}^{-}$) erlaubter Zustände!

Bosonen

wie Photonen, Phononen oder $4^{}{H}_e$ →Bose-Einstein-Statistik

Fermionen

wie Elektronen, Proton, Neutron, $3^{}{H}_e$ →Fermi-Dirac-Statistik

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

Bosonen- Hilbertraum:

${H_N}^{+}=\hat{S}{H}_N=\frac{1}{N!}\sum _{\rho =1}^{N!}{\hat{P}}_{\left(\rho \right)}{H}_N$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

$\hat{S}$ ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator

${\hat{S}}^2=\hat{S}$ → $\hat{S}$ ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Fermionen- Hilbertraum:

${H_N}^{-}=\hat{A}{H}_N=\frac{1}{N!}\sum _{\rho =1}^{N!}{(-1)}^{\rho }{\hat{P}}_{\left(\rho \right)}{H}_N$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

$\hat{A}$ ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator

${\hat{A}}^2=\hat{A}$→$\hat{A}$ ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

$H=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{H_N}^{+}$

• Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!

$H=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{H_N}^{+}$ ist der sogenannte Fock-Raum!

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:

$|a_1,...,a_N⟩\to |N_1,...,N_j,...,N_l⟩$

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a_i

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes $|j⟩$ durch $|N_j⟩$ charakterisiert (inkl. Spin!)

Bosonen:

$N_j=0,1,2,...$

Fermionen

$N_j=0,1$

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators ${\hat{N}}_j={a_j}^{+}{a}_j$