Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

| a_{1}, a_{2}, ..., a_{i}, ..., a_{N} ⟩

dabei ist $a_{i}$ der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator:

{\hat{P}}_{i j} Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, ..., {\bar{x}}_{i}, ..., {\bar{x}}_{j}, ....) := Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, ..., {\bar{x}}_{j}, ..., {\bar{x}}_{i}, ....)

Ununterscheidbarkeit verlangt:

\begin{matrix} {\hat{P}}_{i j} Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, ..., {\bar{x}}_{i}, ..., {\bar{x}}_{j}, ....) := Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, ..., {\bar{x}}_{j}, ..., {\bar{x}}_{i}, ....) = e^{i ν} Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, ..., {\bar{x}}_{i}, ..., {\bar{x}}_{j}, ....) \\ {\hat{P}}_{i j}^{2} = \bar{\bar{1}} \end{matrix}

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit ${\hat{P}}_{i j}$ vertauschen, insbesondere

[\hat{H}, {\hat{P}}_{i j}] = 0 \Rightarrow {\hat{P}}_{i j}

ist Erhaltungsgröße!

Es gilt:

{\hat{P}}_{i j}^{2} = \bar{\bar{1}}

Somit folgt:

\begin{matrix} \Rightarrow {\hat{P}}_{i j} Ψ = λ_{i j} Ψ \\ {λ_{i j}}^{2} = 1 \end{matrix}

Wichtig:

{| Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}) |}^{2} = {| Ψ ({\bar{x}}_{2}, {\bar{x}}_{1}) |}^{2}

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! Also:

\begin{matrix} {| {\hat{P}}_{i j} Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}) |}^{2} = {| Ψ ({\bar{x}}_{2}, {\bar{x}}_{1}) |}^{2} = {| Ψ ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}) |}^{2} \Rightarrow {| λ_{i j} |}^{2} = 1 \\ \Rightarrow λ_{i j} = \pm 1 \end{matrix}

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte!

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:

Sei

| a, b ⟩ = {| a ⟩}_{1} {| b ⟩}_{2} \in H \times H

Dann ist

{| a, b ⟩}_{s} = \frac{1}{2} (1 + {\hat{P}}_{12}) | a, b ⟩

ein Eigenzustand von ${\hat{P}}_{12}$ zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand!

denn:

{\hat{P}}_{12} {| a, b ⟩}_{s} = {\hat{P}}_{12} \frac{1}{2} (1 + {\hat{P}}_{12}) | a, b ⟩ = \frac{1}{2} ({\hat{P}}_{12} + {\hat{P}}_{12}^{2}) | a, b ⟩ = \frac{1}{2} ({\hat{P}}_{12} + 1) | a, b ⟩ = {| a, b ⟩}_{s}

und

{| a, b ⟩}_{a} = \frac{1}{2} (1 - {\hat{P}}_{12}) | a, b ⟩

ist der antisymmetrische Zustand von ${\hat{P}}_{12}$ z zum Eigenwert -1, denn:

{\hat{P}}_{12} {| a, b ⟩}_{a} = \frac{1}{2} ({\hat{P}}_{12} - 1) | a, b ⟩ = - {| a, b ⟩}_{a}

N- Teilchensystem

Alle ${\hat{P}}_{(i j)}$ kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch ( $λ_{i j} = + 1$ )oder antisymmetrisch $λ_{i j} = - 1$ sind!

Reduktion des Hilbertraumes $H \times H \times ... \times H$ (N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also ${H_{N}}^{+}$ ) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also ${H_{N}}^{-}$ ) erlaubter Zustände!

Bosonen

wie Photonen, Phononen oder

^{4} H_{e}

→Bose-Einstein-Statistik

Fermionen

wie Elektronen, Proton, Neutron,

^{3} H_{e}

→Fermi-Dirac-Statistik

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

Bosonen- Hilbertraum:

{H_{N}}^{+} = \hat{S} H_{N} = \frac{1}{N!} \sum_{ρ = 1}^{N!} {\hat{P}}_{(ρ)} H_{N}

Dabei charakterisiert der Index $ρ$ die $ρ$ - te Permutation von (123...N)

\hat{S}

ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator

{\hat{S}}^{2} = \hat{S}

→

\hat{S}

ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Fermionen- Hilbertraum:

{H_{N}}^{-} = \hat{A} H_{N} = \frac{1}{N!} \sum_{ρ = 1}^{N!} {(- 1)}^{ρ} {\hat{P}}_{(ρ)} H_{N}

Dabei charakterisiert der Index $ρ$ die $ρ$ - te Permutation von (123...N)

\hat{A}

ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator

{\hat{A}}^{2} = \hat{A}

→

\hat{A}

ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

H = \sum_{N = 0}^{\infty} {H_{N}}^{+}

Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!

H = \sum_{N = 0}^{\infty} {H_{N}}^{+}

ist der sogenannte Fock-Raum!

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:

| a_{1}, ..., a_{N} ⟩ \to | N_{1}, ..., N_{j}, ..., N_{l} ⟩

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a_i

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes $| j ⟩$ durch $| N_{j} ⟩$ charakterisiert (inkl. Spin!)

Bosonen:

N_{j} = 0, 1, 2, ...

Fermionen

N_{j} = 0, 1

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators ${\hat{N}}_{j} = {a_{j}}^{+} a_{j}$

Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

N- Teilchensystem

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

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