Das ideale Bosegas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

$\begin{array}{rl}& Y=\sum _{N_1...N_l=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\beta \sum _{j=1}^l(N_j{E}_j-\mu N_j))=\prod _{j=1}^l(\sum _{N_j=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j)))\\ & =\prod _{j=1}^l\left(\sum _{N_j=0}^{\mathrm{\infty }}{t_j}^{N_j}\right)\\ & t_j:=\exp (-\beta (E_j-\mu ))\\ & Y=\prod _{j=1}^l\frac{1}{1-t_j}=\prod _{j=1}^l{Y}_j\\ \end{array}$

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn $t_j<1$, also wenn $E_j>\mu$

à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

$\begin{array}{rl}& P(N_1,N_2,...)=Y^{-1}\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j))=\prod _{j=1}^l(1-t_j){t_j}^{N_j}=\prod _{j=1}^{l}p\left(N_j\right)\\ & (separiert)\\ & \\ & p\left(N_j\right)=(1-t_j){t_j}^{N_j}=(1-\exp \left(\beta (\mu -E_j)\right))\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j))\\ & 1-\exp \left(\beta (\mu -E_j)\right):=e^{{\mathrm{\Psi }}_j}\\ & p\left(N_j\right)=e^{{\mathrm{\Psi }}_j}\exp (-\beta (N_j{E}_j-\mu N_j))\\ \end{array}$

Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

$\begin{array}{rl}& ⟨N_j⟩=\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_j}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln Y_j=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln (1-t_j)=\frac{t_j}{1-t_j}=\frac{1}{{t_j}^{-1}-1}\\ & ⟨N_j⟩=\frac{1}{\exp \left(\beta (E_j-\mu )\right)-1}=\frac{1}{\exp \left(\frac{(E_j-\mu )}{kT}\right)-1}\\ \end{array}$

Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus

$\begin{array}{rl}& ⟨N_j⟩=\sum _{N_j=0}^{\mathrm{\infty }}{N}_{j}p(N_j)=\sum _{N_j=0}^{\mathrm{\infty }}{N}_j(1-t_j){t_j}^{N_j}=(1-t_j)t_j\frac{d}{d{t}_j}\sum _{N_j=0}^{\mathrm{\infty }}{t_j}^{N_j}\\ & =(1-t_j)t_j\frac{d}{d{t}_j}\left(\frac{1}{1-t_j}\right)=(1-t_j)t_j\left(\frac{1}{{(1-t_j)}^2}\right)=\frac{t_j}{(1-t_j)}\\ \end{array}$

Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ

Vergleich aller drei Verteilungen:

$⟨N_j⟩=\frac{1}{\exp \left(\frac{(E_j-\mu )}{kT}\right)-k}\{\begin{array}{c}k=1\\ k=0\\ k=-1\\ \end{array}$

mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik k=0 → Maxwell- Boltzmann k= + 1 → Bose - Einstein!

Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: $E=\frac{p^2}{2m}$

Fugazität: $\xi =e^{\beta \mu }$

$\begin{array}{rl}& \ln Y=\prod _{j=1}^l\ln Y_j=-\sum _j^{}\ln (1-\zeta e^{-\beta E_j})\\ & \approx -(2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\ln (1-\zeta e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})\\ & =-(2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}[\frac{p^3}{3}\ln {(1-\zeta e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})}_0^{\mathrm{\infty }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp\frac{p^3}{3}\frac{\beta \frac{p}{m}\zeta e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}}{(1-\zeta e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})}]\\ & \frac{p^3}{3}\ln {(1-\zeta e^{-\beta \frac{p^2}{2m}})}_0^{\mathrm{\infty }}=0\\ & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta (2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{\beta \frac{p^2}{2m}}{(\frac{1}{\zeta }{e}^{\beta \frac{p^2}{2m}}-1)}=\frac{2}{3}\beta (2s+1)\frac{V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp4\pi p^2⟨N(p)⟩E(p)\\ & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta (2s+1)\frac{V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp4\pi p^2⟨N(p)⟩E(p)=\frac{2}{3}\beta U\\ \end{array}$

somit folgt:

$pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U$

also identisch zum fermigas! (S. 131)

Verdünntes Bosegas

(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!

Entwicklung nach Potenzen von

$\xi =e^{\frac{\mu }{kT}}<<1$

also:

$\mu <0$

Gesamte Teilchenzahl:

$\begin{array}{rl}& \overline{N}=\sum _j^{}⟨N_j⟩\approx (2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{1}{\exp \left(\frac{(E_j-\mu )}{kT}\right)-1}=(2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{1}{\exp \left(\frac{(\frac{p^2}{2m}-\mu )}{kT}\right)-1}\\ & \frac{p^2}{2mkT}=y\\ & \Rightarrow \overline{N}=\sum _j^{}⟨N_j⟩\approx (2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{1}{\exp \left(\frac{(\frac{p^2}{2m}-\mu )}{kT}\right)-1}\\ & =\frac{(2s+1)}{2}\frac{4\pi V}{h^3}{\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{1}{2}}}{{\xi }^{-1}\exp \left(y\right)-1}=\frac{(2s+1)}{2}\frac{4\pi V}{h^3}{\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}\frac{\xi e^{-y}}{1-\xi e^{-y}}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}\frac{\xi e^{-y}}{1-\xi e^{-y}}\approx \xi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-y}+{\xi }^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-2y}+....\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-y}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-2y}=\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\sqrt{\pi }\\ & \Rightarrow \overline{N}\approx \frac{(2s+1)}{4}\frac{4V}{h^3}{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac{3}{2}}[\xi +\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}{\xi }^2]\\ & \lambda :={\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{2s+1}{N_C}\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & \Rightarrow \overline{N}\approx (2s+1)\frac{V}{{\lambda }^3}\xi [1+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\xi ]=(2s+1)\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}{e}^{\frac{\mu }{kT}}]\\ \end{array}$

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde. Auch hier:

$\mathrm{\Delta }\overline{N}=(2s+1)\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}{e}^{\frac{\mu }{kT}}$

als Quantenkorrektur

Elimination von $\mu$ durch $\overline{N}$

0. Näherung:

$\overline{N}=(2s+1)\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}$

1. Näherung:

$\begin{array}{rl}& \overline{N}=(2s+1)\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\frac{\overline{N}{\lambda }^3}{V(2s+1)}]\\ & \Rightarrow e^{\frac{\mu }{kT}}\approx \frac{\overline{N}{\lambda }^3}{V(2s+1)}[1-\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\frac{\overline{N}{\lambda }^3}{V(2s+1)}]\\ \end{array}$

Innere Energie:

$\begin{array}{rl}& U=(2s+1)\frac{4\pi V}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dp{p}^2\frac{\frac{p^2}{2m}}{\exp \left(\frac{(\frac{p^2}{2m}-\mu )}{kT}\right)-1}\\ & \frac{p^2}{2mkT}=y\\ & \Rightarrow U=\frac{(2s+1)}{2}\frac{4\pi V}{h^3}{\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}kT}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{3}{2}}\frac{\xi e^{-y}}{1-\xi e^{-y}}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{3}{2}}\frac{\xi e^{-y}}{1-\xi e^{-y}}\approx \xi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{3}{2}}{e}^{-y}+{\xi }^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-2y}+....\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{3}{2}}{e}^{-y}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{y}^{\frac{3}{2}}{e}^{-2y}=\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{3}{4}\sqrt{\pi }\\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kTV\frac{(2s+1)}{h^3}{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac{3}{2}}[\xi +\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}{\xi }^2]\\ & \lambda :={\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{2s+1}{N_C}\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}(2s+1)\frac{VkT}{{\lambda }^3}\xi [1+\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\xi ]=\frac{3}{2}(2s+1)kT\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1+\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}{e}^{\frac{\mu }{kT}}]\\ \end{array}$

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

$\begin{array}{rl}& U\approx \frac{3}{2}(2s+1)\frac{VkT}{{\lambda }^3}\xi [1+\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\xi ]=\frac{3}{2}(2s+1)kT\frac{V}{{\lambda }^3}{e}^{\frac{\mu }{kT}}[1+\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}{e}^{\frac{\mu }{kT}}]=\\ & \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kT\overline{N}[1-\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{{\lambda }^3}{V(2s+1)}\overline{N}]\\ \end{array}$

Mit der Quantenkorrektur

$\mathrm{\Delta }U\approx -\frac{3}{2}kT\overline{N}\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{{\lambda }^3}{V(2s+1)}\overline{N}$

thermische Zustandsgleichung

$pV=\frac{2}{3}U=kT\overline{N}[1-\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{{\lambda }^3}{V(2s+1)}\overline{N}]$

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

$\mathrm{\Delta }pV=-kT\overline{N}\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}\frac{{\lambda }^3}{V(2s+1)}\overline{N}$

verringert.

Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)

Somit:

$\begin{array}{rl}& ⟨N_0⟩=\frac{1}{{\xi }^{-1}-1}=\frac{\xi }{1-\xi }\\ & \xi =e^{\beta \mu }\\ \end{array}$

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für $\xi \approx 1$

$⟨N_0⟩\approx \overline{N}$

(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)

Allgemein:

$\begin{array}{rl}& \overline{N}=⟨N_0⟩+N\stackrel{´}{}\\ & N\stackrel{´}{}=\sum _{j>0}^{}⟨N_j⟩\\ \end{array}$

1) Normale Phase:

$\xi =e^{\beta \mu }<<1$

$⟨N_0⟩$

ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2) kondensierte Phase

$\xi \approx 1$

$N\stackrel{´}{}=\sum _{j>0}^{}\frac{1}{e^{\beta E_j}-1}<<\overline{N}$

unabhängig von $\xi =e^{\beta \mu }$!

Kontinuierlicher Fall:

$\frac{N\stackrel{´}{}}{V}\approx (2s+1)\frac{2\pi }{h^3}{\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{1}{2}}}{e^y-1}\approx (2s+1){\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y}{y}^{\frac{1}{2}}$

Vergl. S. 141

$\begin{array}{rl}& \frac{N\stackrel{´}{}}{V}\approx (2s+1)\frac{2\pi }{h^3}{\left(2mkT\right)}^{\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy\frac{y^{\frac{1}{2}}}{e^y-1}\approx (2s+1){\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y}{y}^{\frac{1}{2}}\\ & \frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y}{y}^{\frac{1}{2}}=1\\ & {\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)}^{\frac{3}{2}}={\lambda }^{-3}\\ \end{array}$

Dabei ist dies der nicht kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!

$\begin{array}{rl}& \frac{N\stackrel{´}{}}{V}=\frac{(2s+1)}{{\lambda }^3}\stackrel{~}{}{T}^{\frac{3}{2}}\\ & \Rightarrow \frac{N\stackrel{´}{}}{\overline{N}}={\left(\frac{T}{T_C}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ \end{array}$

Die kritische Temperatur ist definiert durch $\frac{V}{\overline{N}}\frac{(2s+1)}{\lambda {\left(T_C\right)}^3}=!=1$

Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

$\begin{array}{rl}& \frac{⟨N_0⟩}{\overline{N}}=1-{\left(\frac{T}{T_C}\right)}^{\frac{3}{2}}f\ddot{u}rT<T_C\\ & \frac{⟨N_0⟩}{\overline{N}}=0f\ddot{u}rT>T_C\\ \end{array}$

Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!

Phasenübegang bei $T_C$: normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation è ein makroskopisches Quantenphänomen!

Anwendung:

Die suprafluide Phase von $4^{}He$ bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!