Das ideale Bosegas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

\begin{matrix} Y = \sum_{N_{1} ... N_{l} = 0}^{\infty} \exp (- β \sum_{j = 1}^{l} (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) = \prod_{j = 1}^{l} (\sum_{N_{j} = 0}^{\infty} \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j}))) \\ = \prod_{j = 1}^{l} (\sum_{N_{j} = 0}^{\infty} {t_{j}}^{N_{j}}) \\ t_{j} := \exp (- β (E_{j} - μ)) \\ Y = \prod_{j = 1}^{l} \frac{1}{1 - t_{j}} = \prod_{j = 1}^{l} Y_{j} \end{matrix}

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn $t_{j} < 1$ , also wenn $E_{j} > μ$

à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

\begin{matrix} P (N_{1}, N_{2}, ...) = Y^{- 1} \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) = \prod_{j = 1}^{l} (1 - t_{j}) {t_{j}}^{N_{j}} = \prod_{j = 1}^{l} p (N_{j}) \\ (s e p a r i e r t) \\ p (N_{j}) = (1 - t_{j}) {t_{j}}^{N_{j}} = (1 - \exp (β (μ - E_{j}))) \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) \\ 1 - \exp (β (μ - E_{j})) := e^{Ψ_{j}} \\ p (N_{j}) = e^{Ψ_{j}} \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) \end{matrix}

Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

\begin{matrix} ⟨ N_{j} ⟩ = \frac{\partial Ψ_{j}}{\partial α} = \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial μ} \ln Y_{j} = - \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial μ} \ln (1 - t_{j}) = \frac{t_{j}}{1 - t_{j}} = \frac{1}{{t_{j}}^{- 1} - 1} \\ ⟨ N_{j} ⟩ = \frac{1}{\exp (β (E_{j} - μ)) - 1} = \frac{1}{\exp (\frac{(E_{j} - μ)}{k T}) - 1} \end{matrix}

Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus

\begin{matrix} ⟨ N_{j} ⟩ = \sum_{N_{j} = 0}^{\infty} N_{j} p (N_{j}) = \sum_{N_{j} = 0}^{\infty} N_{j} (1 - t_{j}) {t_{j}}^{N_{j}} = (1 - t_{j}) t_{j} \frac{d}{d t_{j}} \sum_{N_{j} = 0}^{\infty} {t_{j}}^{N_{j}} \\ = (1 - t_{j}) t_{j} \frac{d}{d t_{j}} (\frac{1}{1 - t_{j}}) = (1 - t_{j}) t_{j} (\frac{1}{{(1 - t_{j})}^{2}}) = \frac{t_{j}}{(1 - t_{j})} \end{matrix}

Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ

Vergleich aller drei Verteilungen:

⟨ N_{j} ⟩ = \frac{1}{\exp (\frac{(E_{j} - μ)}{k T}) - k} {\begin{matrix} k = 1 \\ k = 0 \\ k = - 1 \end{matrix}

mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik k=0 → Maxwell- Boltzmann k= + 1 → Bose - Einstein!

Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: $E = \frac{p^{2}}{2 m}$

Fugazität: $ξ = e^{β μ}$

\begin{matrix} \ln Y = \prod_{j = 1}^{l} \ln Y_{j} = - \sum_{j}^{} \ln (1 - ζ e^{- β E_{j}}) \\ \approx - (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \ln (1 - ζ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}) \\ = - (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} [\frac{p^{3}}{3} \ln {(1 - ζ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} d p \frac{p^{3}}{3} \frac{β \frac{p}{m} ζ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}}{(1 - ζ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})}] \\ \frac{p^{3}}{3} \ln {(1 - ζ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})}_{0}^{\infty} = 0 \\ \Rightarrow \ln Y = \frac{2}{3} β (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{β \frac{p^{2}}{2 m}}{(\frac{1}{ζ} e^{β \frac{p^{2}}{2 m}} - 1)} = \frac{2}{3} β (2 s + 1) \frac{V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p 4 π p^{2} ⟨ N (p) ⟩ E (p) \\ \Rightarrow \ln Y = \frac{2}{3} β (2 s + 1) \frac{V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p 4 π p^{2} ⟨ N (p) ⟩ E (p) = \frac{2}{3} β U \end{matrix}

somit folgt:

p V = k T \ln Y = \frac{2}{3} U

also identisch zum fermigas! (S. 131)

Verdünntes Bosegas

(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!

Entwicklung nach Potenzen von

ξ = e^{\frac{μ}{k T}} < < 1

also:

μ < 0

Gesamte Teilchenzahl:

\begin{matrix} \bar{N} = \sum_{j}^{} ⟨ N_{j} ⟩ \approx (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{1}{\exp (\frac{(E_{j} - μ)}{k T}) - 1} = (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{1}{\exp (\frac{(\frac{p^{2}}{2 m} - μ)}{k T}) - 1} \\ \frac{p^{2}}{2 m k T} = y \\ \Rightarrow \bar{N} = \sum_{j}^{} ⟨ N_{j} ⟩ \approx (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{1}{\exp (\frac{(\frac{p^{2}}{2 m} - μ)}{k T}) - 1} \\ = \frac{(2 s + 1)}{2} \frac{4 π V}{h^{3}} {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{1}{2}}}{ξ^{- 1} \exp (y) - 1} = \frac{(2 s + 1)}{2} \frac{4 π V}{h^{3}} {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} \frac{ξ e^{- y}}{1 - ξ e^{- y}} \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} \frac{ξ e^{- y}}{1 - ξ e^{- y}} \approx ξ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} e^{- y} + ξ^{2} \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} e^{- 2 y} + .... \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} e^{- y} = \frac{1}{2} \sqrt{π} \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} e^{- 2 y} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \sqrt{π} \\ \Rightarrow \bar{N} \approx \frac{(2 s + 1)}{4} \frac{4 V}{h^{3}} {(2 π m k T)}^{\frac{3}{2}} [ξ + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} ξ^{2}] \\ λ := {(\frac{h^{2}}{2 π m k T})}^{\frac{1}{2}} = {(\frac{2 s + 1}{N_{C}})}^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow \bar{N} \approx (2 s + 1) \frac{V}{λ^{3}} ξ [1 + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} ξ] = (2 s + 1) \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}} [1 + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{μ}{k T}}] \end{matrix}

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde. Auch hier:

Δ \bar{N} = (2 s + 1) \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{μ}{k T}}

als Quantenkorrektur

Elimination von $μ$ durch $\bar{N}$

0. Näherung:

\bar{N} = (2 s + 1) \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}}

1. Näherung:

\begin{matrix} \bar{N} = (2 s + 1) \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}} [1 + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \frac{\bar{N} λ^{3}}{V (2 s + 1)}] \\ \Rightarrow e^{\frac{μ}{k T}} \approx \frac{\bar{N} λ^{3}}{V (2 s + 1)} [1 - \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \frac{\bar{N} λ^{3}}{V (2 s + 1)}] \end{matrix}

Innere Energie:

\begin{matrix} U = (2 s + 1) \frac{4 π V}{h^{3}} \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{\frac{p^{2}}{2 m}}{\exp (\frac{(\frac{p^{2}}{2 m} - μ)}{k T}) - 1} \\ \frac{p^{2}}{2 m k T} = y \\ \Rightarrow U = \frac{(2 s + 1)}{2} \frac{4 π V}{h^{3}} {(2 m k T)}^{\frac{3}{2} k T} \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{3}{2}} \frac{ξ e^{- y}}{1 - ξ e^{- y}} \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{3}{2}} \frac{ξ e^{- y}}{1 - ξ e^{- y}} \approx ξ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{3}{2}} e^{- y} + ξ^{2} \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{1}{2}} e^{- 2 y} + .... \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{3}{2}} e^{- y} = \frac{3}{4} \sqrt{π} \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{\frac{3}{2}} e^{- 2 y} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{3}{4} \sqrt{π} \\ \Rightarrow U \approx \frac{3}{2} k T V \frac{(2 s + 1)}{h^{3}} {(2 π m k T)}^{\frac{3}{2}} [ξ + \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} ξ^{2}] \\ λ := {(\frac{h^{2}}{2 π m k T})}^{\frac{1}{2}} = {(\frac{2 s + 1}{N_{C}})}^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow U \approx \frac{3}{2} (2 s + 1) \frac{V k T}{λ^{3}} ξ [1 + \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} ξ] = \frac{3}{2} (2 s + 1) k T \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}} [1 + \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} e^{\frac{μ}{k T}}] \end{matrix}

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

\begin{matrix} U \approx \frac{3}{2} (2 s + 1) \frac{V k T}{λ^{3}} ξ [1 + \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} ξ] = \frac{3}{2} (2 s + 1) k T \frac{V}{λ^{3}} e^{\frac{μ}{k T}} [1 + \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} e^{\frac{μ}{k T}}] = \\ \Rightarrow U \approx \frac{3}{2} k T \bar{N} [1 - \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{λ^{3}}{V (2 s + 1)} \bar{N}] \end{matrix}

Mit der Quantenkorrektur

Δ U \approx - \frac{3}{2} k T \bar{N} \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{λ^{3}}{V (2 s + 1)} \bar{N}

thermische Zustandsgleichung

p V = \frac{2}{3} U = k T \bar{N} [1 - \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{λ^{3}}{V (2 s + 1)} \bar{N}]

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

Δ p V = - k T \bar{N} \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{λ^{3}}{V (2 s + 1)} \bar{N}

verringert.

Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)

Somit:

\begin{matrix} ⟨ N_{0} ⟩ = \frac{1}{ξ^{- 1} - 1} = \frac{ξ}{1 - ξ} \\ ξ = e^{β μ} \end{matrix}

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für $ξ \approx 1$

⟨ N_{0} ⟩ \approx \bar{N}

(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)

Allgemein:

\begin{matrix} \bar{N} = ⟨ N_{0} ⟩ + N \overset{´}{} \\ N \overset{´}{} = \sum_{j > 0}^{} ⟨ N_{j} ⟩ \end{matrix}

1) Normale Phase:

ξ = e^{β μ} < < 1

⟨ N_{0} ⟩

ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2) kondensierte Phase

ξ \approx 1

N \overset{´}{} = \sum_{j > 0}^{} \frac{1}{e^{β E_{j}} - 1} < < \bar{N}

unabhängig von $ξ = e^{β μ}$ !

Kontinuierlicher Fall:

\frac{N \overset{´}{}}{V} \approx (2 s + 1) \frac{2 π}{h^{3}} {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{1}{2}}}{e^{y} - 1} \approx (2 s + 1) {(\frac{2 π m k T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}} \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} d y e^{- y} y^{\frac{1}{2}}

Vergl. S. 141

\begin{matrix} \frac{N \overset{´}{}}{V} \approx (2 s + 1) \frac{2 π}{h^{3}} {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{1}{2}}}{e^{y} - 1} \approx (2 s + 1) {(\frac{2 π m k T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}} \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} d y e^{- y} y^{\frac{1}{2}} \\ \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} d y e^{- y} y^{\frac{1}{2}} = 1 \\ {(\frac{2 π m k T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}} = λ^{- 3} \end{matrix}

Dabei ist dies der nicht kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!

\begin{matrix} \frac{N \overset{´}{}}{V} = \frac{(2 s + 1)}{λ^{3}} \tilde{} T^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow \frac{N \overset{´}{}}{\bar{N}} = {(\frac{T}{T_{C}})}^{\frac{3}{2}} \end{matrix}

Die kritische Temperatur ist definiert durch

\frac{V}{\bar{N}} \frac{(2 s + 1)}{λ {(T_{C})}^{3}} =! = 1

Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

\begin{matrix} \frac{⟨ N_{0} ⟩}{\bar{N}} = 1 - {(\frac{T}{T_{C}})}^{\frac{3}{2}} f \ddot{u} r T < T_{C} \\ \frac{⟨ N_{0} ⟩}{\bar{N}} = 0 f \ddot{u} r T > T_{C} \end{matrix}

Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!

Phasenübegang bei $T_{C}$ : normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation è ein makroskopisches Quantenphänomen!

Anwendung:

Die suprafluide Phase von $^{4} H e$ bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!

Das ideale Bosegas

Bose- Verteilung

Verdünntes Bosegas

Bose- Einstein- Kondensation

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