Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Photonengas im Strahlungshohlraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega \left(q\right)t)}\\ & \overline{B}(\overline{r},t)={\overline{B}}_0{e}^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega \left(q\right)t)}\\ \end{array}$

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung!

Mit:

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_0{\overline{B}}_0=0\\ & \overline{q}{\overline{E}}_0=\overline{q}{\overline{B}}_0=0\\ & \text{und}\\ & \omega (q)=c\left|\overline{q}\right|\\ \end{array}$

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander!

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: 

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz $\omega (q)=c\left|\overline{q}\right|$

→$\begin{array}{rl}& E_q=\hslash \omega (q)(n_q+\frac{1}{2})\\ & q=1,2,3,....\\ \end{array}$

Interpretation von n_q als Zahl der Schwingungsquanten oder Photonen mit der Energie $\hslash \omega (q).$ und mit dem Impuls $\hslash \overline{q}$!

Photonen sind Bosonen (da n_q=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)

mit Spin S=1.

Aber:

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände!, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation! der klassischen elektromagnetischen Welle!

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

$\overline{S}\uparrow \downarrow \overline{q}$

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

$\overline{S}\uparrow \uparrow \overline{q}$

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine "longitudinalen" Photonen gibt! (longitudinale Wellen!)

Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 (Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ("Hohlraumstrahlung") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert!

Ihre Anzahl $\overline{N}$ ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung!

-> kanonisches Ensemble!

Formal:

Setze $\mu =0$ in der Boseverteilung (chemisches Potenzial verschwindet)

$\begin{array}{rl}& \overline{N}=2\sum _{\overline{q}}^{}\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash \omega \left(q\right)}{kT}\right)-1}=2\sum _{\overline{q}}^{}⟨N_q⟩\\ & U=2\sum _{\overline{q}}^{}\frac{\hslash \omega \left(q\right)}{\exp \left(\frac{\hslash \omega \left(q\right)}{kT}\right)-1}\\ \end{array}$

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen!

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

$\begin{array}{rl}& 2\sum _{\overline{q}}^{}->\frac{2V}{h^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^3\left(\hslash \overline{q}\right)=\frac{8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dq{q}^2=\frac{8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^3{c}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\omega }^2\\ & \omega =cq\\ & \omega =2\pi \nu \\ & \Rightarrow \frac{8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^3{c}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\omega }^2=\frac{8\pi V}{c^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu {\nu }^2\\ \end{array}$

Zustandsdichte der Photonen

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

$\begin{array}{rl}& \overline{N}=2\sum _{\overline{q}}^{}⟨N_q⟩\\ & \Rightarrow \overline{N}=\frac{8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^3{c}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\omega }^2⟨N(\omega )⟩=\frac{8\pi V}{c^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu {\nu }^2⟨N_{\nu }⟩\\ & \overline{N}:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu D\left(\nu \right)⟨N_{\nu }⟩\\ & \Rightarrow D\left(\nu \right)=\frac{8\pi V}{c^3}{\nu }^2\\ & \overline{N}=\frac{8\pi V}{c^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu {\nu }^2⟨N_{\nu }⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu D\left(\nu \right)⟨N_{\nu }⟩\\ & U=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu D\left(\nu \right)h\nu ⟨N_{\nu }⟩\\ \end{array}$

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die

Plancksche Strahlungsformel $u(\nu ,T):=\frac{1}{V}D\left(\nu \right)h\nu ⟨N_{\nu }⟩=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}$

Grenzfälle

$\begin{array}{rl}& h\nu <<kT\\ & u(\nu ,T)\cong \frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3}{\frac{h\nu }{kT}}=\frac{8\pi }{c^3}{\nu }^{2}kT\\ \end{array}$

klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für $\nu \to 0$ ,

aber: Infrarot- Katastrophe!

$\begin{array}{rl}& h\nu >>kT\\ & u(\nu ,T)\cong \frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}}=\frac{8\pi h}{c^3}{\nu }^3{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}\\ \end{array}$

W. Wien: empirisches Resultat für $\nu \to \mathrm{\infty }$!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

Postulat:

Strahlungsenergie gequantelt gemäß $E_n=nh\nu$

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

• historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!

Maximum der spektralen Energiedichte für

$\begin{array}{rl}& h\nu >>kT\\ & \frac{\partial u(\nu ,T)}{\partial \nu }=0=\frac{\partial }{\partial \nu }\frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}}=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{\partial }{\partial \nu }\left({\nu }^3{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}\right)=\frac{8\pi h}{c^3}(3{\nu }^2{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}-\frac{h}{kT}{\nu }^3{e}^{-\frac{h\nu }{kT}})\\ & \Rightarrow 3{\nu }^2{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}=\frac{h}{kT}{\nu }^3{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}\\ & \Rightarrow \frac{3kT}{h}={\nu }_{\max .}\\ \end{array}$

Wiensches Verschiebungsgesetz

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:

Gesamtenergie

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

$\begin{array}{rl}& U\left(T\right):=V\underset{}{\overset{}{\int }}d\nu \frac{1}{V}D\left(\nu \right)h\nu ⟨N_{\nu }⟩=\frac{8\pi hV}{c^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\nu \frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}\\ & =\frac{8\pi V}{{\left(ch\right)}^3}{\left(kT\right)}^4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x^3}{e^x-1}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x^3}{e^x-1}=\frac{{\pi }^4}{15}\\ & U\left(T\right)=\frac{8{\pi }^{5}V}{15{\left(ch\right)}^3}{\left(kT\right)}^4\\ \end{array}$

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums!

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

Wärmekapazität:

$C_V={\left(\frac{\partial U\left(T\right)}{\partial T}\right)}_V=\frac{32{\pi }^{5}V}{15{\left(ch\right)}^3}{k}^4{T}^3$

Strahlungsdruck im Hohlraum

Aus

$p=-{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_T$

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

$\begin{array}{rl}& F=-kT\ln Z=kT\sum _{\nu }^{}\ln (1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})\\ & p=kT{(\frac{\partial }{\partial V}\ln Z)}_T=-kT\sum _{\nu }^{}\frac{\frac{h}{kT}\left(\frac{\partial \nu }{\partial V}\right)e^{-\frac{h\nu }{kT}}}{(1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})}\\ \end{array}$

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:

$\begin{array}{rl}& \nu =\frac{c}{\lambda }\stackrel{~}{}{V}^{-\frac{1}{3}}\\ & \frac{\partial \nu }{\partial V}=-\frac{1}{3}\frac{\nu }{V}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& p=kT{(\frac{\partial }{\partial V}\ln Z)}_T=-kT\sum _{\nu }^{}\frac{\frac{h}{kT}\left(\frac{\partial \nu }{\partial V}\right)e^{-\frac{h\nu }{kT}}}{(1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})}=kT\sum _{\nu }^{}\frac{\frac{h}{kT}\frac{\nu }{3V}{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}{(1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})}=\frac{1}{3V}\sum _{\nu }^{}\frac{h\nu e^{-\frac{h\nu }{kT}}}{(1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})}=\\ & \Rightarrow p=\frac{1}{3V}\sum _{\nu }^{}h\nu ⟨N_{\nu }⟩\\ & p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}\\ \end{array}$

Der Strahlungsdruck!

Also:

$p\left(T\right)=\frac{8{\pi }^5}{45{\left(ch\right)}^3}{\left(kT\right)}^4$

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur!

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen $2,5\cdot {10}^7$

bar Strahlungsdruck!:

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

(1917)

Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie $h\nu =E_2-E_1$ absorbieren oder emittieren!

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):

$\begin{array}{rl}& \frac{⟨N_2⟩}{⟨N_1⟩}=\frac{g_{2}P(E_2)}{g_{1}P(E_1)}=\frac{g_2{e}^{-\beta E_2}}{g_1{e}^{-\beta E_1}}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-\beta (E_2-E_1)}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-\beta h\nu }\\ & h\nu =E_2-E_1\\ \end{array}$

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

$P(E_i)=Z^{-1}{e}^{-\beta E_i}$

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

Ansatz für die Raten (= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption: $E_1\to E_2$

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate: $E_1\to E_2$

$B_{12}u(\nu ,T)⟨N_1⟩$

2) Spontane Emission:

Emissionsrate: $E_2\to E_1$

$A_{21}⟨N_2⟩$

Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: $\frac{1}{\tau }=A_{21}$

3) Induzierte Emission:

Emissionsrate: $E_2\to E_1$

$B_{21}u(\nu ,T)⟨N_2⟩$

Diese wurde von Einstein neu eingeführt!

• Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:

$\begin{array}{rl}& B_{12}u(\nu ,T)⟨N_1⟩=B_{21}u(\nu ,T)⟨N_2⟩+A_{21}⟨N_2⟩\\ & \Rightarrow u(\nu ,T)=\frac{A_{21}}{B_{12}\frac{⟨N_1⟩}{⟨N_2⟩}-B_{21}}=\frac{A_{21}}{B_{12}\frac{g_1}{g_2}{e}^{\beta h\nu }-B_{21}}\\ \end{array}$

Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:

$\begin{array}{c}\lim \\ T->\mathrm{\infty }\\ \end{array}u(\nu ,T)=\mathrm{\infty }\Rightarrow B_{12}\frac{g_1}{g_2}=B_{21}$

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

$u(\nu ,T)=\frac{A_{21}}{B_{12}\frac{g_1}{g_2}{e}^{\beta h\nu }-B_{21}}=\frac{a}{e^{\beta h\nu }-1}$

schreiben können. Die Bose-Einstein-Verteilung ist also bereits herausgekommen!

$\begin{array}{rl}& kT>>h\nu \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ T->\mathrm{\infty }\\ \end{array}u(\nu ,T)=\frac{8\pi }{c^3}{\nu }^{2}kT\\ & \Rightarrow a=\frac{8\pi }{c^3}h{\nu }^3\\ \end{array}$

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh-Jeans-Gesetz übergehen!

Damit gewinnt man den Faktor a!

$u(\nu ,T)=\frac{8\pi }{c^3}h{\nu }^3\frac{1}{e^{\beta h\nu }-1}$

Verallgemeinerung

kann auf Elektronensysteme im Nichtgleichgewicht geschehen!

Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial $\mu \ne 0$

Anwendung: Laser!