Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Photonengas im Strahlungshohlraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Das Photonengas im Strahlungshohlraum	Quantenmechanische Modellsysteme	Thermodynamik und Statistik
	Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Das ideale Fermigas Das ideale Bosegas Das Photonengas im Strahlungshohlraum Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase Spezifische Wärme von Festkörpern Paramagnetismus Ferromagnetismus	Grundlagen der Statistik Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik Phänomenologische Thermodynamik Klassische Modellsysteme Quantenmechanische Modellsysteme

Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega \left(q\right)t\right)}}\\&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)={{\bar {B}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega \left(q\right)t\right)}}\\\end{aligned}}$

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung!

Mit:

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{0}}{{\bar {B}}_{0}}=0\\&{\bar {q}}{{\bar {E}}_{0}}={\bar {q}}{{\bar {B}}_{0}}=0\\&{\text{und}}\\&\omega (q)=c\left|{\bar {q}}\right|\\\end{aligned}}$

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander!

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: 

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz $\omega (q)=c\left|{\bar {q}}\right|$

→${\begin{aligned}&{{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left({{n}_{q}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&q=1,2,3,....\\\end{aligned}}$

Interpretation von n_q als Zahl der Schwingungsquanten oder Photonen mit der Energie $\hbar \omega (q).$ und mit dem Impuls $\hbar {\bar {q}}$!

Photonen sind Bosonen (da n_q=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)

mit Spin S=1.

Aber:

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände!, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation! der klassischen elektromagnetischen Welle!

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

${\bar {S}}\uparrow \downarrow {\bar {q}}$

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

${\bar {S}}\uparrow \uparrow {\bar {q}}$

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine "longitudinalen" Photonen gibt! (longitudinale Wellen!)

Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 (Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ("Hohlraumstrahlung") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert!

Ihre Anzahl ${\bar {N}}$ ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung!

-> kanonisches Ensemble!

Formal:

Setze $\mu =0$ in der Boseverteilung (chemisches Potenzial verschwindet)

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}\left\langle {{N}_{q}}\right\rangle \\&U=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}$

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen!

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

${\begin{aligned}&2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}->{\frac {2V}{{h}^{3}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}\left(\hbar {\bar {q}}\right)={\frac {8\pi V}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dq{{q}^{2}}={\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}\\&\omega =cq\\&\omega =2\pi \nu \\&\Rightarrow {\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\\\end{aligned}}$

Zustandsdichte der Photonen

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}\left\langle {{N}_{q}}\right\rangle \\&\Rightarrow {\bar {N}}={\frac {8\pi V}{{{\left(2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}}\int _{0}^{\infty }{}d\omega {{\omega }^{2}}\left\langle N(\omega )\right\rangle ={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&{\bar {N}}:=\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&\Rightarrow D\left(\nu \right)={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}\\&{\bar {N}}={\frac {8\pi V}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&U=\int _{0}^{\infty }{}d\nu D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die

Plancksche Strahlungsformel $u\left(\nu ,T\right):={\frac {1}{V}}D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle ={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}-1}}$

Grenzfälle

${\begin{aligned}&h\nu <<kT\\&u\left(\nu ,T\right)\cong {\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{\frac {h\nu }{kT}}}={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT\\\end{aligned}}$

klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für $\nu \to 0$ ,

aber: Infrarot- Katastrophe!

${\begin{aligned}&h\nu >>kT\\&u\left(\nu ,T\right)\cong {\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\\\end{aligned}}$

W. Wien: empirisches Resultat für $\nu \to \infty$!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

Postulat:

Strahlungsenergie gequantelt gemäß ${{E}_{n}}=nh\nu$

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

• historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!

Maximum der spektralen Energiedichte für

${\begin{aligned}&h\nu >>kT\\&{\frac {\partial u\left(\nu ,T\right)}{\partial \nu }}=0={\frac {\partial }{\partial \nu }}{\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {{\nu }^{3}}{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left({{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)={\frac {8\pi h}{{c}^{3}}}\left(3{{\nu }^{2}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}-{\frac {h}{kT}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)\\&\Rightarrow 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}={\frac {h}{kT}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\\&\Rightarrow {\frac {3kT}{h}}={{\nu }_{\max .}}\\\end{aligned}}$

Wiensches Verschiebungsgesetz

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:

Gesamtenergie

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

${\begin{aligned}&U\left(T\right):=V\int _{}^{}{}d\nu {\frac {1}{V}}D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle ={\frac {8\pi hV}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {\frac {{\nu }^{3}}{{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}-1}}\\&={\frac {8\pi V}{{\left(ch\right)}^{3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}={\frac {{\pi }^{4}}{15}}\\&U\left(T\right)={\frac {8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\\end{aligned}}$

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums!

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

Wärmekapazität:

${{C}_{V}}={{\left({\frac {\partial U\left(T\right)}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {32{{\pi }^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{k}^{4}}{{T}^{3}}$

Strahlungsdruck im Hohlraum

Aus

$p=-{{\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)}_{T}}$

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

${\begin{aligned}&F=-kT\ln Z=kT\sum \limits _{\nu }^{}{}\ln \left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)\\&p=kT{{\left({\frac {\partial }{\partial V}}\ln Z\right)}_{T}}=-kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}\left({\frac {\partial \nu }{\partial V}}\right){{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:

${\begin{aligned}&\nu ={\frac {c}{\lambda }}{\tilde {\ }}{{V}^{-{\frac {1}{3}}}}\\&{\frac {\partial \nu }{\partial V}}=-{\frac {1}{3}}{\frac {\nu }{V}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&p=kT{{\left({\frac {\partial }{\partial V}}\ln Z\right)}_{T}}=-kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}\left({\frac {\partial \nu }{\partial V}}\right){{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}=kT\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {{\frac {h}{kT}}{\frac {\nu }{3V}}{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}={\frac {1}{3V}}\sum \limits _{\nu }^{}{}{\frac {h\nu {{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}}{\left(1-{{e}^{-{\frac {h\nu }{kT}}}}\right)}}=\\&\Rightarrow p={\frac {1}{3V}}\sum \limits _{\nu }^{}{}h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle \\&p={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}\\\end{aligned}}$

Der Strahlungsdruck!

Also:

$p\left(T\right)={\frac {8{{\pi }^{5}}}{45{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{\left(kT\right)}^{4}}$

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur!

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen $2,5\cdot {{10}^{7}}$

bar Strahlungsdruck!:

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

(1917)

Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie $h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}$ absorbieren oder emittieren!

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):

${\begin{aligned}&{\frac {\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle }{\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle }}={\frac {{{g}_{2}}P({{E}_{2}})}{{{g}_{1}}P({{E}_{1}})}}={\frac {{{g}_{2}}{{e}^{-\beta {{E}_{2}}}}}{{{g}_{1}}{{e}^{-\beta {{E}_{1}}}}}}={\frac {{g}_{2}}{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta \left({{E}_{2}}-{{E}_{1}}\right)}}={\frac {{g}_{2}}{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta h\nu }}\\&h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}\\\end{aligned}}$

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

$P({{E}_{i}})={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}$

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

Ansatz für die Raten (= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption: ${{E}_{1}}\to {{E}_{2}}$

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate: ${{E}_{1}}\to {{E}_{2}}$

${{B}_{12}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle$

2) Spontane Emission:

Emissionsrate: ${{E}_{2}}\to {{E}_{1}}$

${{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle$

Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: ${\frac {1}{\tau }}={{A}_{21}}$

3) Induzierte Emission:

Emissionsrate: ${{E}_{2}}\to {{E}_{1}}$

${{B}_{21}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle$

Diese wurde von Einstein neu eingeführt!

• Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:

${\begin{aligned}&{{B}_{12}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle ={{B}_{21}}u\left(\nu ,T\right)\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle +{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle \\&\Rightarrow u\left(\nu ,T\right)={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {\left\langle {{N}_{1}}\right\rangle }{\left\langle {{N}_{2}}\right\rangle }}-{{B}_{21}}}}={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}}\\\end{aligned}}$

Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:

${\begin{matrix}\lim \\T->\infty \\\end{matrix}}u\left(\nu ,T\right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}={{B}_{21}}$

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

$u\left(\nu ,T\right)={\frac {{A}_{21}}{{{B}_{12}}{\frac {{g}_{1}}{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}}={\frac {a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}}$

schreiben können. Die Bose-Einstein-Verteilung ist also bereits herausgekommen!

${\begin{aligned}&kT>>h\nu \Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\T->\infty \\\end{matrix}}u\left(\nu ,T\right)={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT\\&\Rightarrow a={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\\\end{aligned}}$

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh-Jeans-Gesetz übergehen!

Damit gewinnt man den Faktor a!

$u\left(\nu ,T\right)={\frac {8\pi }{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}{\frac {1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}}$

Verallgemeinerung

kann auf Elektronensysteme im Nichtgleichgewicht geschehen!

Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial $\mu \neq 0$

Anwendung: Laser!