Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Photonengas im Strahlungshohlraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

\begin{matrix} \bar{E} (\bar{r}, t) = {\bar{E}}_{0} e^{i (\bar{q} \bar{r} - ω (q) t)} \\ \bar{B} (\bar{r}, t) = {\bar{B}}_{0} e^{i (\bar{q} \bar{r} - ω (q) t)} \end{matrix}

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung!

Mit:

\begin{matrix} {\bar{E}}_{0} {\bar{B}}_{0} = 0 \\ \bar{q} {\bar{E}}_{0} = \bar{q} {\bar{B}}_{0} = 0 \\ und \\ ω (q) = c | \bar{q} | \end{matrix}

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander!

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz $ω (q) = c | \bar{q} |$

→

\begin{matrix} E_{q} = ℏ ω (q) (n_{q} + \frac{1}{2}) \\ q = 1, 2, 3, .... \end{matrix}

Interpretation von n_q als Zahl der Schwingungsquanten oder Photonen mit der Energie $ℏ ω (q) .$ und mit dem Impuls $ℏ \bar{q}$ !

Photonen sind Bosonen (da n_q=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)

mit Spin S=1.

Aber:

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände!, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation! der klassischen elektromagnetischen Welle!

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

\bar{S} ↑ ↓ \bar{q}

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

\bar{S} ↑ ↑ \bar{q}

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine "longitudinalen" Photonen gibt! (longitudinale Wellen!)

Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 (Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ("Hohlraumstrahlung") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert!

Ihre Anzahl $\bar{N}$ ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung!

-> kanonisches Ensemble!

Formal:

Setze $μ = 0$ in der Boseverteilung (chemisches Potenzial verschwindet)

\begin{matrix} \bar{N} = 2 \sum_{\bar{q}}^{} \frac{1}{\exp (\frac{ℏ ω (q)}{k T}) - 1} = 2 \sum_{\bar{q}}^{} ⟨ N_{q} ⟩ \\ U = 2 \sum_{\bar{q}}^{} \frac{ℏ ω (q)}{\exp (\frac{ℏ ω (q)}{k T}) - 1} \end{matrix}

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen!

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

\begin{matrix} 2 \sum_{\bar{q}}^{} - > \frac{2 V}{h^{3}} \int_{}^{} d^{3} (ℏ \bar{q}) = \frac{8 π V}{{(2 π)}^{3}} \int_{0}^{\infty} d q q^{2} = \frac{8 π V}{{(2 π)}^{3} c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ω ω^{2} \\ ω = c q \\ ω = 2 π ν \\ \Rightarrow \frac{8 π V}{{(2 π)}^{3} c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ω ω^{2} = \frac{8 π V}{c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ν ν^{2} \end{matrix}

Zustandsdichte der Photonen

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

\begin{matrix} \bar{N} = 2 \sum_{\bar{q}}^{} ⟨ N_{q} ⟩ \\ \Rightarrow \bar{N} = \frac{8 π V}{{(2 π)}^{3} c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ω ω^{2} ⟨ N (ω) ⟩ = \frac{8 π V}{c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ν ν^{2} ⟨ N_{ν} ⟩ \\ \bar{N} := \int_{0}^{\infty} d ν D (ν) ⟨ N_{ν} ⟩ \\ \Rightarrow D (ν) = \frac{8 π V}{c^{3}} ν^{2} \\ \bar{N} = \frac{8 π V}{c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ν ν^{2} ⟨ N_{ν} ⟩ = \int_{0}^{\infty} d ν D (ν) ⟨ N_{ν} ⟩ \\ U = \int_{0}^{\infty} d ν D (ν) h ν ⟨ N_{ν} ⟩ \end{matrix}

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die

Plancksche Strahlungsformel

u (ν, T) := \frac{1}{V} D (ν) h ν ⟨ N_{ν} ⟩ = \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{\frac{h ν}{k T}} - 1}

Grenzfälle

\begin{matrix} h ν < < k T \\ u (ν, T) ≅ \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{\frac{h ν}{k T}} = \frac{8 π}{c^{3}} ν^{2} k T \end{matrix}

klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für $ν \to 0$ ,

aber: Infrarot- Katastrophe!

\begin{matrix} h ν > > k T \\ u (ν, T) ≅ \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{\frac{h ν}{k T}}} = \frac{8 π h}{c^{3}} ν^{3} e^{- \frac{h ν}{k T}} \end{matrix}

W. Wien: empirisches Resultat für $ν \to \infty$ !

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

Postulat:

Strahlungsenergie gequantelt gemäß $E_{n} = n h ν$

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!

Maximum der spektralen Energiedichte für

\begin{matrix} h ν > > k T \\ \frac{\partial u (ν, T)}{\partial ν} = 0 = \frac{\partial}{\partial ν} \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{ν^{3}}{e^{\frac{h ν}{k T}}} = \frac{8 π h}{c^{3}} \frac{\partial}{\partial ν} (ν^{3} e^{- \frac{h ν}{k T}}) = \frac{8 π h}{c^{3}} (3 ν^{2} e^{- \frac{h ν}{k T}} - \frac{h}{k T} ν^{3} e^{- \frac{h ν}{k T}}) \\ \Rightarrow 3 ν^{2} e^{- \frac{h ν}{k T}} = \frac{h}{k T} ν^{3} e^{- \frac{h ν}{k T}} \\ \Rightarrow \frac{3 k T}{h} = ν_{max .} \end{matrix}

Wiensches Verschiebungsgesetz

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:

Gesamtenergie

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

\begin{matrix} U (T) := V \int_{}^{} d ν \frac{1}{V} D (ν) h ν ⟨ N_{ν} ⟩ = \frac{8 π h V}{c^{3}} \int_{0}^{\infty} d ν \frac{ν^{3}}{e^{\frac{h ν}{k T}} - 1} \\ = \frac{8 π V}{{(c h)}^{3}} {(k T)}^{4} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} \\ \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{π^{4}}{15} \\ U (T) = \frac{8 π^{5} V}{15 {(c h)}^{3}} {(k T)}^{4} \end{matrix}

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums!

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

Wärmekapazität:

C_{V} = {(\frac{\partial U (T)}{\partial T})}_{V} = \frac{32 π^{5} V}{15 {(c h)}^{3}} k^{4} T^{3}

Strahlungsdruck im Hohlraum

Aus

p = - {(\frac{\partial F}{\partial V})}_{T}

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

\begin{matrix} F = - k T \ln Z = k T \sum_{ν}^{} \ln (1 - e^{- \frac{h ν}{k T}}) \\ p = k T {(\frac{\partial}{\partial V} \ln Z)}_{T} = - k T \sum_{ν}^{} \frac{\frac{h}{k T} (\frac{\partial ν}{\partial V}) e^{- \frac{h ν}{k T}}}{(1 - e^{- \frac{h ν}{k T}})} \end{matrix}

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:

\begin{matrix} ν = \frac{c}{λ} \tilde{} V^{- \frac{1}{3}} \\ \frac{\partial ν}{\partial V} = - \frac{1}{3} \frac{ν}{V} \end{matrix}

\begin{matrix} p = k T {(\frac{\partial}{\partial V} \ln Z)}_{T} = - k T \sum_{ν}^{} \frac{\frac{h}{k T} (\frac{\partial ν}{\partial V}) e^{- \frac{h ν}{k T}}}{(1 - e^{- \frac{h ν}{k T}})} = k T \sum_{ν}^{} \frac{\frac{h}{k T} \frac{ν}{3 V} e^{- \frac{h ν}{k T}}}{(1 - e^{- \frac{h ν}{k T}})} = \frac{1}{3 V} \sum_{ν}^{} \frac{h ν e^{- \frac{h ν}{k T}}}{(1 - e^{- \frac{h ν}{k T}})} = \\ \Rightarrow p = \frac{1}{3 V} \sum_{ν}^{} h ν ⟨ N_{ν} ⟩ \\ p = \frac{1}{3} \frac{U}{V} \end{matrix}

Der Strahlungsdruck!

Also:

p (T) = \frac{8 π^{5}}{45 {(c h)}^{3}} {(k T)}^{4}

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur!

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen $2, 5 \cdot 10^{7}$

bar Strahlungsdruck!:

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

(1917)

Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie $h ν = E_{2} - E_{1}$ absorbieren oder emittieren!

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):

\begin{matrix} \frac{⟨ N_{2} ⟩}{⟨ N_{1} ⟩} = \frac{g_{2} P (E_{2})}{g_{1} P (E_{1})} = \frac{g_{2} e^{- β E_{2}}}{g_{1} e^{- β E_{1}}} = \frac{g_{2}}{g_{1}} e^{- β (E_{2} - E_{1})} = \frac{g_{2}}{g_{1}} e^{- β h ν} \\ h ν = E_{2} - E_{1} \end{matrix}

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

P (E_{i}) = Z^{- 1} e^{- β E_{i}}

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

Ansatz für die Raten (= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption: $E_{1} \to E_{2}$

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate: $E_{1} \to E_{2}$

B_{12} u (ν, T) ⟨ N_{1} ⟩

2) Spontane Emission:

Emissionsrate: $E_{2} \to E_{1}$

A_{21} ⟨ N_{2} ⟩

Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: $\frac{1}{τ} = A_{21}$

3) Induzierte Emission:

Emissionsrate: $E_{2} \to E_{1}$

B_{21} u (ν, T) ⟨ N_{2} ⟩

Diese wurde von Einstein neu eingeführt!

Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:

\begin{matrix} B_{12} u (ν, T) ⟨ N_{1} ⟩ = B_{21} u (ν, T) ⟨ N_{2} ⟩ + A_{21} ⟨ N_{2} ⟩ \\ \Rightarrow u (ν, T) = \frac{A_{21}}{B_{12} \frac{⟨ N_{1} ⟩}{⟨ N_{2} ⟩} - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12} \frac{g_{1}}{g_{2}} e^{β h ν} - B_{21}} \end{matrix}

Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:

 $\begin{matrix} lim \\ T - > \infty \end{matrix} u (ν, T) = \infty \Rightarrow B_{12} \frac{g_{1}}{g_{2}} = B_{21}$

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

u (ν, T) = \frac{A_{21}}{B_{12} \frac{g_{1}}{g_{2}} e^{β h ν} - B_{21}} = \frac{a}{e^{β h ν} - 1}

schreiben können. Die Bose-Einstein-Verteilung ist also bereits herausgekommen!

 $\begin{matrix} k T > > h ν \Rightarrow \begin{matrix} lim \\ T - > \infty \end{matrix} u (ν, T) = \frac{8 π}{c^{3}} ν^{2} k T \\ \Rightarrow a = \frac{8 π}{c^{3}} h ν^{3} \end{matrix}$

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh-Jeans-Gesetz übergehen!

Damit gewinnt man den Faktor a!

u (ν, T) = \frac{8 π}{c^{3}} h ν^{3} \frac{1}{e^{β h ν} - 1}

Verallgemeinerung

kann auf Elektronensysteme im Nichtgleichgewicht geschehen!

Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial $μ \neq 0$

Anwendung: Laser!

Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Inhaltsverzeichnis

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

Gesamtenergie

Strahlungsdruck im Hohlraum

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

Verallgemeinerung

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Das Photonengas im Strahlungshohlraum

Übergang zum Quasi- Kontinuum!

Gesamtenergie

Strahlungsdruck im Hohlraum

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

Verallgemeinerung

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