Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:55 Uhr

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 5) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Bisher: keine inneren Freiheitsgrade von Teilchen berücksichtigt, nur: Translation!

Jetzt: Innere Freiheitsgrade der ROTATION und SCHWINGUNG (bei mehratomigen Molekülen)

Gesamtenergie eines zweiatomigen Moleküls:

E = \frac{1}{M} P^{2} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + \frac{{p_{r}}^{2}}{2 m} + V (r)

Mit:

\begin{aligned} \frac{1}{M} P^{2} = E_{t} \\ \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} = E_{r} \\ \frac{{p_{r}}^{2}}{2 m} + V (r) = E_{s} \end{aligned}

Als Energien für Translation, Rotation und Schwingung!

Dabei kennzeichnet r den Abstand der beiden Atome

mit

P: Schwerpunktsimpuls

M: m1+m2 Gesamtmasse

L: Drehimpuls

r: Relativkoordinaten

m = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

reduzierte Masse

p_{r}

Relativimpuls

aus

r: Relativkoordinaten

m = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

reduzierte Masse

→ $m r^{2}$

= Trägheitsmoment bezüglich der beiden Hauptträgheitsachsen $⊥$

Verbindungslinie!

Das effektive Potenzial setzt sich dabei zusammen aus Zentrifugalbarriere und 1/r- Potenzial:

V_{e f f .} = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r)

Der Gleichgewichtsabstand ro ergibt sich gemäß

\frac{d}{d r} {(\frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r))}_{r o} = 0

Taylorentwicklung der Schwingungsenergie für kleine Schwingungen liefert:

E_{s} = \frac{{p_{r}}^{2}}{2 m} + \frac{m ω^{2}}{r} {(r - r_{0})}^{2}

Molekül - Zustandssumme im kanonischen Ensemble:

\begin{aligned} Z = \sum_{t, r, s}^{} \exp (- β E_{j}) = \sum_{t}^{} \exp (- β E_{t}) \sum_{r}^{} \exp (- β E_{r}) \sum_{s}^{} \exp (- β E_{s}) \\ E_{j} = E_{t j} + E_{s j} + E_{r j} \\ \sum_{t}^{} \exp (- β E_{t}) = Z_{t} \\ \sum_{r}^{} \exp (- β E_{r}) = Z_{r} \\ \sum_{s}^{} \exp (- β E_{s}) = Z_{S} \end{aligned}

Z = \sum_{t, r, s}^{} \exp (- β E_{j}) = Z_{t} Z_{r} Z_{S}

Somit folgt als Zustandssumme aller N Moleküle:

\begin{aligned} Z = \frac{1}{N!} Z^{N} = \frac{1}{N!} {(\sum_{t, r, s}^{} \exp (- β E_{j}))}^{N} = \frac{1}{N!} {Z_{t}}^{N} {Z_{r}}^{N} {Z_{S}}^{N} \\ = \frac{1}{N!} \sum_{t}^{} \exp (- N β E_{t}) \sum_{r}^{} \exp (- N β E_{r}) \sum_{s}^{} \exp (- N β E_{s}) \end{aligned}

Mit dem Translationsanteil $\frac{1}{N!} {Z_{t}}^{N}$

Somit folgt für die innere Energie:

\begin{aligned} U = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Z = - \frac{\partial}{\partial β} (\frac{1}{N!} {Z_{t}}^{N}) - N \frac{\partial}{\partial β} (Z_{r}) - N \frac{\partial}{\partial β} (Z_{s}) \\ - \frac{\partial}{\partial β} (\frac{1}{N!} {Z_{t}}^{N}) = U_{t} \\ - N \frac{\partial}{\partial β} (Z_{r}) = U_{r} \\ - N \frac{\partial}{\partial β} (Z_{s}) = U_{S} \\ \Rightarrow U = U_{t} + U_{r} + U_{S} \end{aligned}

Für die Wärmekapazität gilt:

C_{V} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} = C_{v t} + C_{v r} + C_{v s}

Pro mol (N=Na):

c_{V} = c_{v t} + c_{v r} + c_{v s}

Spezifische Wärme der Translation

Die spezifische Wärme der Translation wurde bereits berechnet.

Dabei ergab sich:

c_{v t} = \frac{3}{2} R

(ideales Gas, Kapitel 4.1)

c_{v t} = \frac{π^{2}}{2} R \frac{k T}{E_{F}}

(entartetes Fermigas, vergl. 5.2)

Bosegas: vergl. 5.3

Rotations- und Schwingungswärme: Quanteneffekte wichtig! (Einfrieren von Freiheitsgraden)

Spezifische Wärme der Rotation

\begin{aligned} L^{2} = ℏ^{2} l (l + 1) \\ l = 0, 1, 2, . . . . \end{aligned}

Eigenwerte des Bahndrehimpulses

2l+1 - fache m - Entartung (ohne Spin)

Somit:

für den Gleichgewichtsabstand: ro

Für ein Teilchen also:

Z_{r} = \sum_{l = 0}^{\infty} (2 l + 1) \exp (- β \frac{l (l + 1) ℏ^{2}}{2 m {r_{0}}^{2}})

Jeder Zustand wird so oft gezählt wie er entartet ist!

\begin{aligned} Z_{r} = \sum_{l = 0}^{\infty} (2 l + 1) \exp (- β \frac{l (l + 1) ℏ^{2}}{2 m {r_{0}}^{2}}) \\ = \sum_{l = 0}^{\infty} (2 l + 1) \exp (- \frac{Θ_{r}}{T} l (l + 1)) \\ Θ_{r} : = \frac{ℏ^{2}}{2 m {r_{0}}^{2} k} \end{aligned}

Für

T > > Θ_{r}

dominieren große l- Werte in $\sum_{l = 0}^{\infty}$ .

Der Abstand der Energien wird quasi kontinuierlich. Deshalb:

\sum_{l = 0}^{\infty} \to \int_{}^{} d l

\begin{aligned} Z_{r} \approx \int_{0}^{\infty} d l (2 l + 1) \exp (- \frac{Θ_{r}}{T} l (l + 1)) \\ \frac{Θ_{r}}{T} l (l + 1) : = x \\ \Rightarrow Z_{r} \approx \frac{T}{Θ_{r}} \int_{0}^{\infty} d x e^{- x} = \frac{T}{Θ_{r}} \\ \Rightarrow U_{r} = - N \frac{\partial}{\partial β} \ln Z_{r} = N k T^{2} \frac{\partial}{\partial T} \ln Z_{r} \approx N k T \\ \Rightarrow c_{v r} = N_{A} k = R \end{aligned}

Dies ist gleich dem klassischen Wert! Entspricht einem Gleichverteilungssatz mit 2 Rotationsfreiheitsgraden senkrecht zur Molekülachse!

T < < Θ_{r}

→ die Zustandssumme wird von den kleinen l- Werten alleine bestimmt! in $\sum_{l = 0}^{\infty}$

tragen nur die kleinen l- Werte bei!. Näherungsweise kann man die Zustandssumme für l=0,1 auswerten:

\begin{aligned} Z_{r} \approx 1 + 3 \exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T}) \\ \ln Z_{r} \approx 3 \exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T}) \\ \Rightarrow U_{r} \approx N k T^{2} \frac{\partial}{\partial T} (3 \exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T})) = 6 N k Θ_{r} (\exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T})) \\ \Rightarrow c_{v r} = 12 R {(\frac{Θ_{r}}{T})}^{2} \exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T}) \end{aligned}

Es ergibt sich etwa folgender Verlauf für Wasserstoff:

und für Sauerstoffmoleküle:

Damit ist der dritte Hauptsatz erfüllt, da

\begin{matrix} \lim \\ T - > 0 \end{matrix} c_{v r} = \begin{matrix} \lim \\ T - > 0 \end{matrix} 12 R {(\frac{Θ_{r}}{T})}^{2} \exp (- \frac{2 Θ_{r}}{T}) = 0

im Gegensatz zum klassischen Gleichverteilungssatz.

Also: für $T < < Θ_{r}$

frieren die Rotationsfreiheitsgrade ein!

k Θ_{r}

ist eine typische Rotationsenergie → tiefe Temperaturen!

dabei ist $Θ_{r} \tilde{} \frac{1}{m}$

Achtung! der inverse Abstand geht auch noch in die Rechnung ein.

Dadurch sinkt $Θ_{r}$

für größere Moleküle sehr stark!

Es folgt:

$Θ_{r}$

H2 85,4K HCl 15,2 K N2 2,9K O2 2,1 K

Die bisher gemachten Betrachtungen sind nur für verschiedene Atome im Hantelmolekül korrekt! Bei Gleichen Atomen muss man noch die Ununterscheidbarkeit berücksichtigen!

Beispiel:

H2- Molekül! (historisch wichtig!) führt zur Entdeckung des Kernspins der Protonen!!!

Die Elektronen sind hier vernachlässigbar!

Da die Masse so klein ist $\Rightarrow Θ_{r}$

groß!

Weiter

Der Zustand der H- kerne (Fermionen!)muss antisymmetrisch in Spin und Bahn bei Vertauschung der Kerne sein:

Ortho- Wasserstoff

Kernspins $↑ ↑$

→ S=1

(Triplettzustand : 2S+1=3)

Bahnzustand ist ungerade: l =1,3,5,....

Para- Wasserstoff

Kernspins $↑ ↓$

→ S=0

(Singulettzustand : 2S+1=1)

Bahnzustand ist gerade: l =0,2,4,....

Da die Umwandlung von Ortho- und Para- Wasserstoff sehr langsam stattfindet (Gleichgewichtseinstellung) kann man beides getrennt messen!.

Das Verhalten ist unterschiedlich

Hinweis auf den Kernspin, der damit fermionisch sein muss!

kernspin:

S_{\Pr o t o n} = \frac{1}{2}

→ Fermionen

Spezifische Wärme bei Schwingungen

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2})

n=0,1,2,....

Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators!

Also:

\begin{aligned} Z_{S} = \sum_{n = 0}^{\infty} \exp (- β (ℏ ω (n + \frac{1}{2}))) = \exp (- β ℏ ω \frac{1}{2}) \sum_{n = 0}^{\infty} {[\exp (- β ℏ ω)]}^{n} \\ = \exp (- β ℏ ω \frac{1}{2}) \frac{1}{1 - [\exp (- β ℏ ω)]} \\ U_{S} = - N \frac{\partial}{\partial β} \ln Z_{S} = N (\frac{1}{[\exp (β ℏ ω) - 1]} + \frac{1}{2}) ℏ ω = N (⟨ n ⟩ + \frac{1}{2}) ℏ ω \\ c_{V s} = N_{A} \frac{\partial}{\partial T} (\frac{1}{[\exp (\frac{ℏ ω}{k T}) - 1]} + \frac{1}{2}) ℏ ω = N_{A} k \frac{{(\frac{Θ_{S}}{T})}^{2} e^{(\frac{Θ_{S}}{T})}}{{(e^{(\frac{Θ_{S}}{T})} - 1)}^{2}} \\ Θ_{S} : = \frac{ℏ ω}{k} \end{aligned}

Damit ergibt sich für Wasserstoff

Wie man sieht, werden die Schwingungsfreiheitsgrade erst bei wesentlich höheren Temperaturen angeregt. Dies liegt im Wesentlichen an der geringen Masse von Wasserstoff

(kleine Masse → $ω = \sqrt{\frac{k_{H o o k}}{m}}$

sehr groß!)

tabellarisch:

$Θ_{S}$

H2 6340K HCl 4140K N2 3380K O2 2270K Cl2 810K Br2 470K J2 305K

Für

T > > Θ_{S}

nähert man:

\begin{aligned} U_{S} \approx N (\frac{1}{\frac{ℏ ω}{k T}} + \frac{1}{2}) ℏ ω \approx N (k T + \frac{1}{2} ℏ ω) \\ C_{V s} \approx N k \\ c_{V s} \approx N k R \end{aligned}

Auch dies entspricht wieder dem klassischen Gleichverteilungssatz!

T < < Θ_{S}

c_{V s} \approx R {(\frac{Θ_{S}}{T})}^{2} e^{- \frac{Θ_{S}}{T}} \tilde{} e^{- \frac{Θ_{S}}{T}}

Allgemein gilt:

Θ_{S} > > Θ_{R}

Molekülschwingungen bleiben bis zu wesentlich höheren Temperaturen eingefrohren als die Rotation!

Bei Zimmertemperatur ist im Allgemeinen die Schwingungswärme vernachlässigbar!
→ es gilt: f=5 für ein zweiatomiges Molekül!

c_{V} \approx \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R

bei Zimmertemperatur!

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|5}}</noinclude>
-Bisher: keine inneren Freiheitsgrade von Teilchen berücksichtigt, nur: Translation !
+Bisher: keine inneren Freiheitsgrade von Teilchen berücksichtigt, nur: Translation!
-Jetzt: Innere Freiheitsgrade der ROTATION  und  SCHWINGUNG  ( bei mehratomigen Molekülen )
+Jetzt: Innere Freiheitsgrade der ROTATION  und  SCHWINGUNG  (bei mehratomigen Molekülen)
 '''Gesamtenergie eines zweiatomigen Moleküls:'''
-<math>E=\frac{1}{M}{{P}^{2}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+V(r)</math>
+:<math>E=\frac{1}{M}{{P}^{2}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+V(r)</math>
 Mit:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \frac{1}{M}{{P}^{2}}={{E}_{t}} \\
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 \end{align}</math>
-Als Energien für Translation, Rotation und Schwingung !
+Als Energien für Translation, Rotation und Schwingung!
 Dabei kennzeichnet r den Abstand der beiden Atome
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 r:  Relativkoordinaten
-<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
+:<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
 reduzierte Masse
-<math>{{p}_{r}}</math>
+:<math>{{p}_{r}}</math>
 Relativimpuls
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 r:  Relativkoordinaten
-<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
+:<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
 reduzierte Masse
--><math>m{{r}^{2}}</math>
+→<math>m{{r}^{2}}</math>
 =  Trägheitsmoment bezüglich der beiden Hauptträgheitsachsen <math>\bot </math>
-Verbindungslinie !
+Verbindungslinie!
 '''Das '''effektive Potenzial setzt sich dabei zusammen aus Zentrifugalbarriere und 1/r- Potenzial:
-<math>{{V}_{eff.}}=\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>
+:<math>{{V}_{eff.}}=\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>
 Der Gleichgewichtsabstand ro   ergibt sich gemäß
-<math>\frac{d}{dr}{{\left( \frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right)}_{ro}}=0</math>
+:<math>\frac{d}{dr}{{\left( \frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right)}_{ro}}=0</math>
 Taylorentwicklung der Schwingungsenergie für kleine Schwingungen liefert:
-<math>{{E}_{s}}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{r}{{\left( r-{{r}_{0}} \right)}^{2}}</math>
+:<math>{{E}_{s}}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{r}{{\left( r-{{r}_{0}} \right)}^{2}}</math>
 ====Molekül - Zustandssumme im kanonischen Ensemble:====
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & Z=\sum\limits_{t,r,s}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{j}} \right)=\sum\limits_{t}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{t}} \right)\sum\limits_{r}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{r}} \right)\sum\limits_{s}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{s}} \right) \\
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 \end{align}</math>
-<math>Z=\sum\limits_{t,r,s}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{j}} \right)={{Z}_{t}}{{Z}_{r}}{{Z}_{S}}</math>
+:<math>Z=\sum\limits_{t,r,s}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{j}} \right)={{Z}_{t}}{{Z}_{r}}{{Z}_{S}}</math>
 Somit folgt als Zustandssumme aller N Moleküle:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & Z=\frac{1}{N!}{{Z}^{N}}=\frac{1}{N!}{{\left( \sum\limits_{t,r,s}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta {{E}_{j}} \right) \right)}^{N}}=\frac{1}{N!}{{Z}_{t}}^{N}{{Z}_{r}}^{N}{{Z}_{S}}^{N} \\
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 Somit folgt für die innere Energie:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z=-\frac{\partial }{\partial \beta }\left( \frac{1}{N!}{{Z}_{t}}^{N} \right)-N\frac{\partial }{\partial \beta }\left( {{Z}_{r}} \right)-N\frac{\partial }{\partial \beta }\left( {{Z}_{s}} \right) \\
@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 Für die Wärmekapazität gilt:
-<math>{{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}={{C}_{vt}}+{{C}_{vr}}+{{C}_{vs}}</math>
+:<math>{{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}={{C}_{vt}}+{{C}_{vr}}+{{C}_{vs}}</math>
-Pro mol ( N=Na):
+Pro mol (N=Na):
-<math>{{c}_{V}}={{c}_{vt}}+{{c}_{vr}}+{{c}_{vs}}</math>
+:<math>{{c}_{V}}={{c}_{vt}}+{{c}_{vr}}+{{c}_{vs}}</math>
 ====Spezifische Wärme der Translation====
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
 Dabei ergab sich:
-<math>{{c}_{vt}}=\frac{3}{2}R</math>
+:<math>{{c}_{vt}}=\frac{3}{2}R</math>
-( ideales Gas, Kapitel 4.1)
+(ideales Gas, Kapitel 4.1)
-<math>{{c}_{vt}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}R\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math>
+:<math>{{c}_{vt}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}R\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math>
-( entartetes Fermigas, vergl. 5.2)
+(entartetes Fermigas, vergl. 5.2)
 Bosegas: vergl. 5.3
-<u>'''Rotations- und Schwingungswärme: '''</u>Quanteneffekte wichtig ! ( Einfrieren von Freiheitsgraden)
+<u>'''Rotations- und Schwingungswärme: '''</u>Quanteneffekte wichtig! (Einfrieren von Freiheitsgraden)
 <u>'''Spezifische Wärme der Rotation'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{L}^{2}}={{\hbar }^{2}}l(l+1) \\
@@ Zeile 154: / Zeile 154: @@
 Eigenwerte des Bahndrehimpulses
-l+1 - fache   m - Entartung ( ohne Spin)
+l+1 - fache   m - Entartung (ohne Spin)
 Somit:
@@ Zeile 162: / Zeile 162: @@
 Für ein Teilchen also:
-<math>{{Z}_{r}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}(2l+1)\exp \left( -\beta \frac{l(l+1){{\hbar }^{2}}}{2m{{r}_{0}}^{2}} \right)</math>
+:<math>{{Z}_{r}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}(2l+1)\exp \left( -\beta \frac{l(l+1){{\hbar }^{2}}}{2m{{r}_{0}}^{2}} \right)</math>
-Jeder Zustand wird so oft gezählt wie er entartet ist !
+Jeder Zustand wird so oft gezählt wie er entartet ist!
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{Z}_{r}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}(2l+1)\exp \left( -\beta \frac{l(l+1){{\hbar }^{2}}}{2m{{r}_{0}}^{2}} \right) \\
@@ Zeile 178: / Zeile 178: @@
 Für
-<math>T>>{{\Theta }_{r}}</math>
+:<math>T>>{{\Theta }_{r}}</math>
 dominieren große l- Werte in <math>\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}</math>
+.
+ Der Abstand der Energien wird quasi kontinuierlich. Deshalb:
-. Der Abstand der Energien wird quasi kontinuierlich. Deshalb:
+:<math>\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\to \int_{{}}^{{}}{dl}</math>
-<math>\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\to \int_{{}}^{{}}{dl}</math>
+:<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
 & {{Z}_{r}}\approx \int_{0}^{\infty }{{}}dl(2l+1)\exp \left( -\frac{{{\Theta }_{r}}}{T}l(l+1) \right) \\
@@ Zeile 200: / Zeile 200: @@
 \end{align}</math>
-Dies ist gleich dem klassischen Wert ! Entspricht einem Gleichverteilungssatz mit 2 Rotationsfreiheitsgraden senkrecht zur Molekülachse !
+Dies ist gleich dem klassischen Wert! Entspricht einem Gleichverteilungssatz mit 2 Rotationsfreiheitsgraden senkrecht zur Molekülachse!
-<math>T<<{{\Theta }_{r}}</math>
+:<math>T<<{{\Theta }_{r}}</math>
--> die Zustandssumme wird von den kleinen l- Werten alleine bestimmt ! in <math>\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}</math>
+→ die Zustandssumme wird von den kleinen l- Werten alleine bestimmt! in <math>\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}</math>
-tragen nur die kleinen l- Werte bei !. Näherungsweise kann man die Zustandssumme für l=0,1 auswerten:
+tragen nur die kleinen l- Werte bei!. Näherungsweise kann man die Zustandssumme für l=0,1 auswerten:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\
@@ Zeile 226: / Zeile 226: @@
 Damit ist der dritte Hauptsatz erfüllt, da
-<math>\begin{matrix}
+:<math>\begin{matrix}
 \lim   \\
@@ Zeile 244: / Zeile 244: @@
 Also: für <math>T<<{{\Theta }_{r}}</math>
-frieren die Rotationsfreiheitsgrade ein !
+frieren die Rotationsfreiheitsgrade ein!
-<math>k{{\Theta }_{r}}</math>
+:<math>k{{\Theta }_{r}}</math>
-ist eine typische Rotationsenergie -> tiefe Temperaturen !
+ist eine typische Rotationsenergie → tiefe Temperaturen!
 dabei ist <math>{{\Theta }_{r}}\tilde{\ }\frac{1}{m}</math>
-Achtung ! der inverse Abstand geht auch noch in die Rechnung ein.
+Achtung! der inverse Abstand geht auch noch in die Rechnung ein.
 Dadurch sinkt <math>{{\Theta }_{r}}</math>
-für größere Moleküle sehr stark !
+für größere Moleküle sehr stark!
 Es folgt:
@@ Zeile 272: / Zeile 272: @@
-Die bisher gemachten Betrachtungen sind nur für verschiedene Atome im Hantelmolekül korrekt ! Bei '''Gleichen '''Atomen muss man noch die Ununterscheidbarkeit berücksichtigen !
+Die bisher gemachten Betrachtungen sind nur für verschiedene Atome im Hantelmolekül korrekt! Bei '''Gleichen '''Atomen muss man noch die Ununterscheidbarkeit berücksichtigen!
 '''Beispiel:'''
-H2- Molekül ! ( historisch wichtig !) führt  zur Entdeckung des Kernspins der Protonen !!!
+H2- Molekül! (historisch wichtig!) führt  zur Entdeckung des Kernspins der Protonen!!!
-Die Elektronen sind hier vernachlässigbar !
+Die Elektronen sind hier vernachlässigbar!
 Da die Masse so klein ist <math>\Rightarrow {{\Theta }_{r}}</math>
-groß !
+groß!
 '''Weiter'''
-Der Zustand der H- kerne ( Fermionen !)muss antisymmetrisch in Spin und Bahn bei Vertauschung der Kerne sein:
+Der Zustand der H- kerne (Fermionen!)muss antisymmetrisch in Spin und Bahn bei Vertauschung der Kerne sein:
 '''Ortho- Wasserstoff'''
@@ Zeile 292: / Zeile 292: @@
 Kernspins <math>\uparrow \uparrow </math>
--> S=1
+→ S=1
-( Triplettzustand : 2S+1=3)
+(Triplettzustand : 2S+1=3)
 Bahnzustand ist ungerade:   l  =1,3,5,....
@@ Zeile 302: / Zeile 302: @@
 Kernspins <math>\uparrow \downarrow </math>
--> S=0
+→ S=0
-( Singulettzustand : 2S+1=1)
+(Singulettzustand : 2S+1=1)
 Bahnzustand ist gerade:   l  =0,2,4,....
-Da die Umwandlung von Ortho- und Para- Wasserstoff sehr langsam stattfindet ( Gleichgewichtseinstellung) kann man beides getrennt messen !.
+Da die Umwandlung von Ortho- und Para- Wasserstoff sehr langsam stattfindet (Gleichgewichtseinstellung) kann man beides getrennt messen!.
 Das Verhalten ist unterschiedlich
-* Hinweis auf den Kernspin, der damit fermionisch sein muss !
+* Hinweis auf den Kernspin, der damit fermionisch sein muss!
 kernspin:
-<math>{{S}_{\Pr oton}}=\frac{1}{2}</math>
+:<math>{{S}_{\Pr oton}}=\frac{1}{2}</math>
--> Fermionen
+→ Fermionen
 ====Spezifische Wärme bei Schwingungen====
-<math>{{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)</math>
+:<math>{{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)</math>
 n=0,1,2,....
-Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators !
+Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators!
 Also:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{Z}_{S}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \right) \right)=\exp \left( -\beta \hbar \omega \frac{1}{2} \right)\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{\left[ \exp \left( -\beta \hbar \omega  \right) \right]}^{n}} \\
@@ Zeile 350: / Zeile 350: @@
 Wie man sieht, werden die Schwingungsfreiheitsgrade erst bei wesentlich höheren Temperaturen angeregt. Dies liegt im Wesentlichen an der geringen Masse von Wasserstoff
-( kleine Masse -> <math>\omega =\sqrt{\frac{{{k}_{Hook}}}{m}}</math>
+(kleine Masse → <math>\omega =\sqrt{\frac{{{k}_{Hook}}}{m}}</math>
-sehr groß !)
+sehr groß!)
 tabellarisch:
@@ Zeile 376: / Zeile 376: @@
 Für
-<math>T>>{{\Theta }_{S}}</math>
+:<math>T>>{{\Theta }_{S}}</math>
 nähert man:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{U}_{S}}\approx N\left( \frac{1}{\frac{\hbar \omega }{kT}}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega \approx N\left( kT+\frac{1}{2}\hbar \omega  \right) \\
@@ Zeile 390: / Zeile 390: @@
 \end{align}</math>
-Auch dies entspricht wieder dem klassischen Gleichverteilungssatz !
+Auch dies entspricht wieder dem klassischen Gleichverteilungssatz!
-<math>T<<{{\Theta }_{S}}</math>
+:<math>T<<{{\Theta }_{S}}</math>
-<math>{{c}_{Vs}}\approx R{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}\tilde{\ }{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}</math>
+:<math>{{c}_{Vs}}\approx R{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}\tilde{\ }{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}</math>
 Allgemein gilt:
-<math>{{\Theta }_{S}}>>{{\Theta }_{R}}</math>
+:<math>{{\Theta }_{S}}>>{{\Theta }_{R}}</math>
-Molekülschwingungen bleiben bis zu wesentlich höheren Temperaturen eingefrohren als die Rotation !
+Molekülschwingungen bleiben bis zu wesentlich höheren Temperaturen eingefrohren als die Rotation!
-* Bei Zimmertemperatur  ist im Allgemeinen die Schwingungswärme vernachlässigbar !
+* Bei Zimmertemperatur  ist im Allgemeinen die Schwingungswärme vernachlässigbar!
-* -> es gilt:   f=5   für ein zweiatomiges Molekül !
+* → es gilt:   f=5   für ein zweiatomiges Molekül!
-<math>{{c}_{V}}\approx \frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R</math>
+:<math>{{c}_{V}}\approx \frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R</math>
-bei Zimmertemperatur !
+bei Zimmertemperatur!

Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:55 Uhr

Molekül - Zustandssumme im kanonischen Ensemble:

Spezifische Wärme der Translation

Spezifische Wärme bei Schwingungen

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