Die Dirac Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:36 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die Klein-Gordon-Gleichung

{(i \partial_{t} - e ϕ)}^{2} Ψ = ({(\hat{\underline{p}} - e \underline{A})}^{2} + m^{2}) Ψ c = ℏ = 1

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

i \partial_{t} Ψ = (\pm \sqrt{{(\hat{\underline{p}} - e \underline{A})}^{2} + m^{2}} + e ϕ) Ψ

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

i \partial_{t} Ψ = \hat{H} Ψ \hat{H} = e ϕ + \underline{α} (\underline{\hat{p}} - e \underline{A}) + β m

(1.31)

mit $\underline{α} = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), β$ zu bestimmen.

Ansatz $[\underline{α}, \underline{p}] = [β, p_{i}] = 0$ ^[1]

Für $ϕ = \underline{A} = 0$ soll $\hat{H} = \sqrt{{\hat{\underline{p}}}^{2} + m^{2}}$ also ${\underline{\hat{p}}}^{2} + m^{2} = {(\underline{α} \underline{\hat{p}} + β m)}^{2}$ .

Vielleicht liefert

β^{2} = 1, α_{i} β + β α_{i} = 0, α_{i} α_{j} + α_{j} α_{i} = 2 δ_{i j} i \in {1, 2, 3}

(1.32)

die Lösung.

\underline{α}, β

erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

$α_{i}, β$ sollen hermitesch sein ( $\hat{H}$ soll nur reelle Eigenwerte haben): $α_{i} = {α_{i}}^{+} \equiv {({a_{i}}^{*})}^{T}$
$β^{2} = α_{i}^{2} = 1 \Rightarrow β = β^{T} = β^{- 1} \Rightarrow β$ unitär, ebenso $α_{i}$ unitär
Aus $α_{i} = - β α_{i} β^{- 1} \Rightarrow \underset{Spur}{\underset{⏟}{T r}} (α_{i}) = - T r (β α_{i} β^{- 1}) \underset{zyklische Vertauschung}{\underset{⏟}{=}} - T r (α_{i}) \Rightarrow T r (α_{i}) = 0$

analog

β = - α_{i} β {α_{i}}^{- 1} \Rightarrow T r (β) = 0

$β^{2} = α_{i}^{2} = 1 \Rightarrow α_{i}, β$ haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben $α_{i}, β$ grade Dimension
2x2 Matrizen tun es nicht:

Freie Parameter bei Matrizen! M!! **P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M**
komplex	2N²
Komplex, hermitesch $M = M^{T}$	N²(Diagonale)+N²-N=N²
$M = M^{T}, T r (M) = 0$	$N^{2} - 1$ wegen der Zusatzbedingung $T r (M) = 0$

Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M = M^{T}, T r (M) = 0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen

σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

(1.33)

darstellen, d.h,

M = \underline{p} . \underline{σ} = p_{1} {\underline{\underline{σ}}}_{1} + p_{2} {\underline{\underline{σ}}}_{2} + p_{2} {\underline{\underline{σ}}}_{2}, \underline{σ} = \underset{Vektor der Pauli-Matrizen}{\underset{⏟}{({\underline{\underline{σ}}}_{1}, {\underline{\underline{σ}}}_{2}, {\underline{\underline{σ}}}_{3})}}, \underline{p} = \underset{\in ℝ^{3}}{\underset{⏟}{(p_{1}, p_{2}, p_{3})}}

{\underline{\underline{σ}}}_{i}^{2} = \underline{\underline{1}}, {\underline{\underline{σ}}}_{i}^{T} = {\underline{\underline{σ}}}_{i}, T r ({\underline{\underline{σ}}}_{i}) = 0, {{\underline{\underline{σ}}}_{i}, {\underline{\underline{σ}}}_{j}} : = {\underline{\underline{σ}}}_{i} {\underline{\underline{σ}}}_{j} - {\underline{\underline{σ}}}_{j} {\underline{\underline{σ}}}_{i} = 2 δ_{i j} \underline{\underline{1}}

^[2]

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

α_{i} = (\begin{matrix} \underline{\underline{0}} & {\underline{\underline{σ}}}_{i} \\ {\underline{\underline{σ}}}_{i} & \underline{\underline{0}} \end{matrix}), β = (\begin{matrix} \underline{\underline{1}} & \underline{\underline{0}} \\ \underline{\underline{0}} & - \underline{\underline{1}} \end{matrix})

(1.35)

Es gilt ${\underline{\underline{α}}}_{i}^{2} = (\begin{matrix} {\underline{\underline{σ}}}_{i}^{2} & \underline{\underline{0}} \\ \underline{\underline{0}} & {\underline{\underline{σ}}}_{i}^{2} \end{matrix}), {\underline{\underline{β}}}^{2} = \underline{\underline{1}}$ (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem ${\underline{\underline{α}}}_{i} = {\underline{\underline{α}}}_{i}^{T}, \underline{\underline{β}} = {\underline{\underline{β}}}^{T}, {\underline{\underline{α}}}_{i}, \underline{\underline{β}}$ unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung

i \partial_{t} Ψ = (\underline{α} . \hat{\underline{p}} - β m) Ψ

(1.36)

sind 4-komponentige Spinoren $Ψ (x) = (\begin{matrix} Ψ_{1} (x) \\ Ψ_{2} (x) \\ Ψ_{3} (x) \\ Ψ_{4} (x) \end{matrix}), x = (c t, \underline{x})$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN

↑ Kommutator $[A, B] = A B - B A$
↑ $\underline{\underline{1}} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ist die 2x2 Einheitsmatrix

[1] Kommutator $[A, B] = A B - B A$

[2] $\underline{\underline{1}} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ist die 2x2 Einheitsmatrix

[1]

[2]

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 {{NumBlk|:|
-<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi  \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>
+:<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi  \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>
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-<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi  \right)\Psi </math>
+:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi  \right)\Psi </math>
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-<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>
+:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>
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 Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref>
-Für
+Für <math>\phi =\underline{A}=0</math> soll<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.
-<math>\phi =\underline{A}=0</math>
-soll
-<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math>
-also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.
 Vielleicht liefert
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-<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>
+:<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>
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 die Lösung.
-<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>
+:<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>
 Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
 * <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math>
 * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär
-* Aus
+* Aus <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
-* <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
+:analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta  \right)=0</math>
-*
-analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta  \right)=0</math>
 * <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math>
 * Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension
 * 2x2 Matrizen tun es nicht:
-'''M'''
-	'''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
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+{| class="wikitable" border="1"
-Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>
+|+ Freie Parameter bei Matrizen!
-	N²(Diagonale)+N²-N=N²
+ '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
-<math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>
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+| Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>|| N²(Diagonale)+N²-N=N²
+|-
+| <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>|| <math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>
+|}
 '''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''
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+:<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math>
 <ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix}
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+\end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#3399FF">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT>
 Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.
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 {{NumBlk|:|Dirac-Gleichung
-<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>
+:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>
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-sind 4-komponentige Spinoren
+sind 4-komponentige Spinoren<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}
-<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}
 {{\Psi }_{1}}\left( x \right)  \\
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 \end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>
-==Literatur==
+<noinclude>==Literatur==
 <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>
-<references />
+<references /></noinclude>

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