Die Dirac Gleichung

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Die Klein-Gordon-Gleichung

(iteϕ)2Ψ=((p_^eA_)2+m2)Ψc==1
     (1.29)


lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

itΨ=(±(p_^eA_)2+m2+eϕ)Ψ
     (1.30)


Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

itΨ=H^ΨH^=eϕ+α_(p^_eA_)+βm
     (1.31)


mit α_=(α1,α2,α3),β zu bestimmen.

Ansatz [α_,p_]=[β,pi]=0[1]

Für ϕ=A_=0 sollH^=p_^2+m2 also p^_2+m2=(α_p^_+βm)2.

Vielleicht liefert

β2=1,αiβ+βαi=0,αiαj+αjαi=2δiji{1,2,3}
     (1.32)

die Lösung.

α_,βerzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

analog β=αiβαi1Tr(β)=0
  • β2=αi2=1αi,βhaben nur die Eigenwerte ±1
  • Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben αi,β grade Dimension
  • 2x2 Matrizen tun es nicht:


Freie Parameter bei Matrizen! M!! P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
komplex 2N²
Komplex, hermitesch M=MT N²(Diagonale)+N²-N=N²
M=MT,Tr(M)=0 N21 wegen der Zusatzbedingung Tr(M)=0

Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit M=MT,Tr(M)=0 lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen

σ1=(0110)σ2=(0ii0)σ3=(1001)
     (1.33)


darstellen, d.h,

M=p_.σ_=p1σ__1+p2σ__2+p2σ__2,σ_=(σ__1,σ__2,σ__3)Vektor der Pauli-Matrizen,p_=(p1,p2,p3)3
σ__i2=1__,σ__iT=σ__i,Tr(σ__i)=0,{σ__i,σ__j}:=σ__iσ__jσ__jσ__i=2δij1__

[2]

     (1.34)


Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

αi=(0__σ__iσ__i0__),β=(1__0__0__1__)
     (1.35)


Es gilt α__i2=(σ__i20__0__σ__i2),β__2=1__(4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem α__i=α__iT,β__=β__T,α__i,β__unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung
itΨ=(α_.p_^βm)Ψ
     (1.36)


sind 4-komponentige SpinorenΨ(x)=(Ψ1(x)Ψ2(x)Ψ3(x)Ψ4(x)),x=(ct,x_)

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN

  1. Kommutator [A,B]=ABBA
  2. 1__=(1001)ist die 2x2 Einheitsmatrix