Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator

$[\underset{\_}{x},\underset{\_}{p}]=\mathfrak{i}\hslash$

(2.1)

mit den OperatorenOrtsoperator $\hat{x}$(Ort) $\hat{p}$(ImpulsImpulsoperator), einer Unschärferelation

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$

(2.2)

und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. $\mathrm{\Psi }\left(\underset{\_}{x}\right)$beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.

Hilbertraum

Definition

(2.3)

Ein Hilbertraum ist ein vollständiger unitärer Raum.

Definition

(2.4)

Ein Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩$ und (induzierter)

Norm $\Vert \mathrm{\Psi }\Vert :=\sqrt{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$ heißt unitärer Raum.

Definition

(2.5)

Eine 'Norm' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung $V\to {\mathbb{ℝ}}^{+}$, so dass für $\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in V$ gilt

1. $\Vert \mathrm{\Psi }\Vert \ge 0,\Vert \mathrm{\Psi }\Vert =0\iff \mathrm{\Psi }=0$
2. $\Vert c\mathrm{\Psi }\Vert =c\Vert \mathrm{\Psi }\Vert ,c\in \mathbb{ℂ}$
3. $\Vert \mathrm{\Psi }+\mathrm{\Phi }\Vert \le \Vert \mathrm{\Psi }\Vert +\Vert \mathrm{\Phi }\Vert$

Definition

(2.6)

Ein 'Skalarprodukt' eines Vektorraums V ist eine Abbildung $(V,V)\to \mathbb{ℂ}$, so dass für $\psi ,\varphi ,\chi \in V$gilt:

$\begin{array}{rl}& ⟨\psi |\psi ⟩\ge 0\\ & ⟨\psi +\varphi |\chi ⟩=⟨\psi |\chi ⟩+⟨\varphi |\chi ⟩\\ & ⟨\psi |c\varphi ⟩=c⟨\psi |\varphi ⟩c\in \mathbb{ℂ}\\ & ⟨\psi |\varphi ⟩={⟨\varphi |\psi ⟩}^{*}=\overline{⟨\varphi |\psi ⟩}\\ \end{array}$

Definition

(2.7)

Ein Folge $\left\{{\mathrm{\Psi }}_n\right\}$in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, falls $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\left(\epsilon \right)$ ganz so dass $\mathrm{\forall }n,m>N\left(\epsilon \right)\Rightarrow \Vert {\mathrm{\Psi }}_n-{\mathrm{\Psi }}_m\Vert <\epsilon$.

Definition

(2.8)

Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum.

Beispiele:

1. Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathbb{ℂ}}^n$, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis ${\underset{\_}{e}}_1=\left(\begin{array}{rl}& 1\\ & 0\\ & ⋮\\ & 0\\ \end{array}\right){\underset{\_}{e}}_2=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 1\\ & ⋮\\ & 0\\ \end{array}\right)...{\underset{\_}{e}}_n=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 0\\ & ⋮\\ & 1\\ \end{array}\right)$.
2. Hilbertraum ${\mathcal{\mathscr{H}}}_L$der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension

$\mathrm{\Psi }\left(\underset{\_}{x}\right)$

auf $x\in [0,L],\mathrm{\Psi }\left(0\right)=\mathrm{\Psi }\left(L\right)=0$

$-\frac{\hslash }{2m}{\mathrm{\Psi }}^{\prime }{\text{'}}_n\left(x\right)=E_n{\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)$

Basis ${\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),E_n=\frac{{\left(\hslash n\pi \right)}^2}{2m{L}^2},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

(2.9)

Skalarprodukt

$\begin{array}{rl}& ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\left(x\right)\mathrm{\Phi }\left(x\right)dx\\ & ⟨{\mathrm{\Psi }}_n|{\mathrm{\Psi }}_m⟩={\delta }_{mn}\\ \end{array}$

• Vollständigkeit: $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\text{Fourierkoeffizient}}{\underbrace{⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩}}{\mathrm{\Psi }}_n\left(\underset{\_}{x}\right)\mathrm{\forall }\mathrm{\Phi }\in {\mathcal{\mathscr{H}}}_L$

vergleich mit $\underset{\_}{y}=\sum _{n=1}^d⟨{\underset{\_}{e}}_n|\underset{\_}{y}⟩{\underset{\_}{e}}_{n}k\mathrm{\forall }\underset{\_}{y}\in {\mathbb{ℂ}}^n$

(AUFGABE):

1. Definiere $\mathrm{\Phi }\in {\mathcal{\mathscr{H}}}_L$mit $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=Nx(L-x)$
2. bestimme N so dass $\Vert \mathrm{\Phi }\Vert =1$
3. Beweise die Formel $\frac{{\pi }^3}{32}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{{(2k+1)}^3}$
4. Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung $\left|⟨\alpha |\beta ⟩\right|\le \Vert \alpha \Vert \Vert b\Vert$für $|\alpha ⟩,|\beta ⟩\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Definition: $\left\{{\mathrm{\Psi }}_n\right\}$ vollständiges Orthogonalsystem eins HR$\mathcal{\mathscr{H}}$

---

Satz (Parseval)

$\mathrm{\Phi }=\sum _n⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩{\mathrm{\Psi }}_n\iff {\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2=\sum _n{\left|⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩\right|}^2$

(2.11)

Bemerkung:

• Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum (haben kein Skalarprodukt)
• Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel

Dirac-Notation

Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte $⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$etc. eines Hilbertraum

$\mathcal{\mathscr{H}}$

Zustände $\mathrm{\Phi }\leftrightarrow |\mathrm{\Phi }⟩$ „Ket“, „Dirac-Ket“

(2.12)

1. Skalarprodukt von $\mathrm{\Psi }\text{ und }\mathrm{\Phi }\leftrightarrow ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩={⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩}^{*}$
2. VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation für Basis ${\mathrm{\Psi }}_n\leftrightarrow |n⟩$

$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n⟨n|\mathrm{\Phi }⟩|n⟩\\ & |\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n\underset{\underset{\_}{1}}{\underbrace{|n⟩⟨n|}}\mathrm{\Phi }⟩\\ \end{array}$

„vollständige Eins“ $\underset{\_}{1}=|n⟩⟨n|$

(2.13)

1. Dualraum und Bra-Zustände

Dualraum ${\mathcal{\mathscr{H}}}^{*}$eines Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}$: Raum aller linearen Funktionale

$⟨\mathrm{\Psi }|:\mathcal{\mathscr{H}}\to \mathbb{ℂ},|\mathrm{\Phi }⟩\to ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$

(2.14)

Vektor $|\mathrm{\Psi }⟩$als Funktional $⟨\mathrm{\Psi }|$aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von $\underset{\text{bra}}{\underbrace{⟨\mathrm{\Psi }}}|\underset{\text{ket}}{\underbrace{\mathrm{\Phi }⟩}}$engl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im ${\mathbb{ℝ}}^3$:

1. $|{\mathrm{\Phi }}_i⟩$alsKets: normale Vektoren
2. $⟨{\mathrm{\Phi }}_i|$alsBras: als Abbildung, z.B. $⟨{\mathrm{\Phi }}_3|:\underset{\in {\mathbb{ℝ}}^3}{\underbrace{|\mathrm{\Phi }⟩}}\to \underset{\in \mathbb{ℝ}}{\underbrace{⟨{\mathrm{\Phi }}_3|\mathrm{\Phi }⟩}}$Projektion auf 3-Achse $⟨{\mathrm{\Phi }}_1|,⟨{\mathrm{\Phi }}_2|,⟨{\mathrm{\Phi }}_3|$ Basis für Dualraum ${\mathbb{ℝ}}^3$, d.h. jedes Funktional $⟨f|$ (Projektion) als Linearkombination $c_1⟨{\mathrm{\Phi }}_1|+c_2⟨{\mathrm{\Phi }}_2|+c_3⟨{\mathrm{\Phi }}_3|\equiv ⟨f|$
3. „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
4. ${\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Phi }\left|\underset{\_}{1}\right|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n⟨\mathrm{\Phi }|n⟩⟨n|\mathrm{\Phi }⟩={\sum _n\left|⟨n|\mathrm{\Phi }⟩\right|}^2$
5. „Einschieben der Eins“

Operatoren in der Quantenmechanik

Definition: Ein 'linearer Operator' $\hat{A}:\mathcal{\mathscr{H}}\to \mathcal{\mathscr{H}}$ ($\mathcal{\mathscr{H}}$ Hilbertraum), erfüllt

$\hat{A}(|\mathrm{\Psi }⟩+c|\mathrm{\Phi }⟩)=\hat{A}|\mathrm{\Psi }⟩+c\hat{A}|\mathrm{\Phi }⟩$

(2.15)

Beispiele:

1. Ortsoperator$\hat{x}$ Impulsoperator $\hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$

für $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathcal{\mathscr{H}}}_L:\hat{x}:\mathrm{\Psi }\left(x\right)\to x\mathrm{\Psi }\left(x\right)\hat{p}:\mathrm{\Psi }\left(x\right)\to \frac{\hslash }{\mathfrak{i}}{\mathrm{\Psi }}^{\prime }\left(x\right)$

1. n x n-Matrizen auf ${\mathbb{ℂ}}^2$

${\mathbb{ℂ}}^2$ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.

Definition Der Erwartungswert eines Operators $\hat{A}$im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ist

${⟨\hat{A}⟩}_{\mathrm{\Psi }}:=\frac{⟨\mathrm{\Psi }|\hat{A}\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}:=\frac{⟨\mathrm{\Psi }\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$

(2.16)

Definition

(2.17)

Matrixelement eines Operators $⟨n\left|\hat{A}\right|m⟩$

Beispiele $|n⟩\to {\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)$Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

$\hat{A}={\hat{x}}^2$

Dann ist ${⟨\hat{x}⟩}_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{{\mathrm{\Psi }}_n}^{*}\left(x\right)x^2{\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\underset{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}{\underbrace{{\left|\mathrm{\Psi }\left(x\right)\right|}^2}}dx$

Definition

(2.18)

Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operator'adjungierter Operator' A⁺ ist definiert durch

$⟨\mathrm{\Psi }|A\mathrm{\Phi }⟩=⟨A^{+}\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩\mathrm{\forall }\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Definition

(2.19)

Ein linearer Operator heißt hermitesch (selbstadjungiert), $A^{+}=A$ wenn

$⟨\mathrm{\Psi }|A\mathrm{\Phi }⟩=⟨A\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩\mathrm{\forall }\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.

• Energie $\mathcal{\mathscr{H}}$Hamiltonoperator

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V\left(\underset{\_}{r}\right)$

(2.20)

für nichtrelativistische Teilchen der Masse

• Ort $\hat{r}$, Impuls $\hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$, DrehimpulsDrehimpuls $\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}$
• Spin ½ (Helizität) in Richtung $\hat{n}$für Dirac-Teilchen,

$\frac{1}{2}\hat{n}\mathrm{\Sigma }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\hat{n}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \hat{n}\underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$

vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung von Operatoren $\hat{A}$nach seinen Eigenzuständen, d.h.

$\hat{A}|n⟩=a_n|n⟩\Rightarrow \hat{A}=\sum _n{a}_n{\hat{P}}_n$

(2.21)

mit ${\hat{P}}_n$dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a_n aufgespannt wird. Falls a_n nicht entartet, gilt

${\hat{P}}_n=|n⟩⟨n|$,

$|n⟩$normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ sind die Eigenwerte a_n, die mit Wahrscheinlichkeit

$prob\left(a_n\right)=\frac{⟨\mathrm{\Psi }\left|{\hat{P}}_n\right|\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$

(2.22)

auftreten. Wird a_n gemessen, so geht $|\mathrm{\Psi }⟩$instantan in $\frac{P_n|\mathrm{\Psi }⟩}{\sqrt{⟨\mathrm{\Psi }\left|P_n\right|\mathrm{\Psi }⟩}}$ über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).

Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem

Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts ${\epsilon }_L$und ${\epsilon }_R$

Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System

${\hat{H}}_0={\epsilon }_L|L⟩⟨L|+{\epsilon }_R|R⟩⟨R|$

(2.23)

Im Matrix- Schreibweise als Qubit im Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathbb{ℂ}}^2$

$|L⟩=\left(\begin{array}{rl}& 1\\ & 0\\ \end{array}\right);|R⟩=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 1\\ \end{array}\right);{\hat{H}}_0=\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_L& 0\\ 0& {\epsilon }_R\\ \end{array}\right)$

(2.24)

Den (komplizierten) Tunneleffekt bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential“ $\hat{V}$in $\mathcal{\mathscr{H}}$, d.h. durch den

Tunnel-Operator $\hat{V}=T_c\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)=T_c{\sigma }_x$

(2.25)

Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$

(2.26)

AUFGABEN…

Zeitentwicklung in der Quantenmechanik

Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form

$\mathfrak{i}{\partial }_t|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{H}\left(t\right)|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

(2.27)

Hier ist

$|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

zeitabhängig und auch der Hamiltonian

$\hat{H}\left(t\right)$

kann zeitabhängig sein, z.B. $\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$ (zeitabhängiges Potential)

Zeitunabhängiger Hamiltonian

In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch

$|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=e^{-i\hat{H}(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩,t>t_0$

(2.28)

als Anfangswertproblem mit dem

$\hat{U}(t,t_0)=e^{i\hat{H}(t-t_0)}t>t_0$

(2.29)

Û ist unitär, ${\hat{U}}^{-1}={\hat{U}}^{+}$, denn $\hat{H}={\hat{H}}^{+}$ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung

$|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$

ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â

${⟨\hat{A}⟩}_0:={⟨\hat{A}⟩}_{|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩}=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$

zur Zeit $t_0=0$ ($|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$ normiert.)

${⟨\hat{A}⟩}_t:={⟨\hat{A}⟩}_{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}=⟨\mathrm{\Psi }\left(t\right)\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

zur Zeit $t_0>0$

Wir haben

${⟨\hat{A}⟩}_t=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\left|\hat{A}\right|e^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)\underset{\tilde{A}}{\underbrace{\left|e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\hat{A}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}\right|}}\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$

also

$\tilde{A}\left(t\right):=e^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}\hat{A}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}$ (Zeitentwicklung von Operator $\hat{A}$ im Heisenbergbild)

Bemerkung: $\text{Ket}\hat{B}|\mathrm{\Psi }⟩\mapsto ⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{B}}^{+}Bra$ Skalarprodukt: Mathematiker:

$(|\mathrm{\Psi }⟩,|\mathrm{\Phi }⟩)\equiv ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$

Physiker-Notation

Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung

1. „Schrödinger-Bild“ Operatoren $\hat{A}$fest, Zustände zeitabhängig
2. $|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$
4. „Heisenberg-Bild“ Zustand $|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig$\hat{A}\left(t\right)={\hat{U}}^{+}(t,t_0)\hat{A}\hat{U}(t,t_0)$

Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung

Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg $d_t\hat{A}\left(t\right)=\mathfrak{i}[\hat{H},\hat{A}\left(t\right)]$

(2.31)

Häufig schreibt man${\hat{A}}_H\left(t\right)$, falls die Operatoren $\hat{A}$bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.

$\hat{A}=\hat{A}\left(t\right)\Rightarrow {⟨\hat{A}⟩}_t=⟨\mathrm{\Psi }\left(t\right)\underset{\text{Intrinsisch}}{\underbrace{\left|\hat{A}\left(t\right)\right|}}\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)\underset{{\hat{A}}_H\left(t\right)}{\underbrace{\left|e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\hat{A}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}\right|}}\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$

(2.32)

so dass (CHECK)

$d_t{\hat{A}}_H\left(t\right)=i[\hat{H},\hat{A}\left(t\right)]+e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\underset{\text{intrinsisch}}{\underbrace{d_t\hat{A}\left(t\right)}}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}$

(2.33)

Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR

Die meisten Fälle mit zeitabhängigem $\hat{H}\left(t\right)$sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir

$\hat{H}\left(t\right)=\underset{\_}{B}\left(t\right)\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}{B}_z\left(t\right)& B_{\left|\right|}^{*}\left(t\right)\\ B_{\left|\right|}^{*}\left(t\right)& -B_z\left(t\right)\\ \end{array}\right)B_{\left|\right|}\left(t\right)=B_x\left(t\right)+\mathfrak{i}{B}_y\left(t\right)$

(2.34)

zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den $\underset{\_}{\sigma }$-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld

• Hilbertraum hier ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}={\mathbb{ℂ}}^2$
• (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung $i{\partial }_t\phi =[\frac{1}{2m}{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2-\underset{\text{Pauli-Term}}{\underbrace{\frac{e\hslash }{2m}\underset{\_}{\sigma }.\underset{\_}{B}}}+e\varphi ]\phi$
• (1.44)

mit Konstante $-\frac{e\hslash }{2m}\to 1$ und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade

$\phi (\underset{\_}{x},t)=\underset{\text{Orts-WF}}{\underbrace{\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)}}\underset{\text{Spin-WF}}{\underbrace{\left(\begin{array}{rl}& {\chi }_1\left(t\right)\\ & {\chi }_2\left(t\right)\\ \end{array}\right)}}$

(2.35)

in Dirac-Schreibweise

$\begin{array}{rl}& |\phi \left(t\right)⟩=|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩\otimes |\chi \left(t\right)⟩\\ & \mathcal{\mathscr{H}}={\mathcal{\mathscr{H}}}_{Ort}\otimes {\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}\\ \end{array}$

(2.36)

mit ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Ort}=L^2\left({\mathbb{ℝ}}^3\right)$ (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf ${\mathbb{ℝ}}^3$) und ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}={\mathbb{ℂ}}^2$. Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)

$\begin{array}{rl}& \mathfrak{i}{\partial }_t|\chi \left(t\right)⟩=\hat{H}\left(t\right)|\chi \left(t\right)⟩\\ & \iff \begin{array}{cc}\begin{array}{rl}& \mathfrak{i}{\dot{\chi }}_1=B_z{\chi }_1-B_{\left|\right|}^{*}{\chi }_2\\ & \mathfrak{i}{\dot{\chi }}_2=B_{\left|\right|}^{}{\chi }_1-B_z{\chi }_2\\ \end{array}& \\ \end{array}\\ \end{array}$

(2.37)

kann für zeitabhängige $B_{\left|\right|},B_z$ i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden

1. $\underset{\_}{B}=\text{const}\Rightarrow$quantenmechanische Ozillatoren

Eigenwerte von $\hat{H}$ sind

${\epsilon }_{\pm }=\pm \left|\underset{\_}{B}\right|\left|\underset{\_}{B}\right|=\sqrt{B_z^2+{\left|B_{\left|\right|}\right|}^2}$

(CHECK) à Zeitentwicklung $U(t,0)=e^{-i\hat{H}t}=S{e}^{-iDt}{S}^{-1}$mit $D=diag({\epsilon }_{+},{\epsilon }_{-})$ Alternativer Lösungsweg: Ansatz

${\chi }_j\left(t\right)=c_j{e}^{izt}$

in (siehe b)

1. Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen

Hier

$\begin{array}{rl}& B_z=B_0=\text{const}\\ & B_{\left|\right|}=B_1{e}^{\mathfrak{i}\omega t}=\underset{B_x}{\underbrace{B_1\cos \omega t}}+\mathfrak{i}\underset{B_y}{\underbrace{B_1\sin \omega t}}{B}_1\in \mathbb{ℝ}\\ \end{array}$

(2.38)

$B_{\left|\right|}$

rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“

$\begin{array}{rl}& {\chi }_1=c_1{e}^{\mathfrak{i}zt-\mathfrak{i}\frac{\omega }{2}t}(z+\frac{\omega }{2})c_1=B_0{c}_1+B_1{c}_2\\ & {\chi }_2=c_2{e}^{\mathfrak{i}zt+\mathfrak{i}\frac{\omega }{2}t}(z-\frac{\omega }{2})c_1=B_1{c}_1-B_0{c}_2\\ \end{array}$

(2.39)

Nichttriviale Lösung von (2.39) für

$0=\left|\begin{array}{cc}z+\frac{\omega }{2}-B_0& -B_1\\ -B_1& z-\frac{\omega }{2}+B_0\\ \end{array}\right|=z^2-{(B_0-\frac{\omega }{2})}^2-B_1^2\Rightarrow z_{\pm }=\pm \sqrt{{(B_0-\frac{\omega }{2})}^2+B_1^2}=\pm \frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_R$

mit

${\mathrm{\Omega }}_R:=\sqrt{{(2B_0-\omega )}^2+4B_1^2}$

(2.40)

Damit zwei linear unabhängige Lösungen für ${\chi }_2\left(t\right),{\chi }_1\left(t\right)$

$\begin{array}{rl}& {\chi }_2\left(t\right)=c_{+}{e}^{\mathfrak{i}(\frac{\omega }{2}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2})t}+c_{-}{e}^{\mathfrak{i}(\frac{\omega }{2}-\frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2})t}{c}_{\pm }\in \mathbb{ℂ}\\ & =e^{\mathfrak{i}\omega t}\{\alpha \cos \frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2}+\beta \sin \frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2}\}\alpha ,\beta \in \mathbb{ℂ}\end{array}$

(2.41)

für ${\chi }_1\left(t\right)$ entsprechen: Koeffizienten für ${\chi }_2\left(t\right),{\chi }_1\left(t\right)$ hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für ${\chi }_1\left(0\right)=0,{\chi }_2\left(0\right)=1$ und diskutieren.