Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente: Unterschied zwischen den Versionen

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Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>l_i</math> und
Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>l_i</math> und
{{FB|Spin}}s <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen.
{{FB|Spin}}s <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen.
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Bahndrehimpulse
Bahndrehimpulse
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Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).
Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).
{{AnMS|g-Faktor auch Lande Faktor gibt theoretisch für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls}}


==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q==
==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q==
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Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder
Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder


Potential \phi für p im Außenraum <math>\Delta \phi  = 0</math>
Potential <math>\phi</math> für p im Außenraum <math>\Delta \phi  = 0</math>
:<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math>
:<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math>


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==Ergänzende Infromationen==
==Ergänzende Infromationen==
(gehört nicht zum Skript)
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Aktuelle Version vom 28. August 2011, 14:22 Uhr

Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.



Der Kerndrehimpuls I setzt sich aus den Bahndrehimpulsen li und Spins si der elnzelnen Nukleonen zusammen.

I=li+si.

Bahndrehimpulse li als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential V=V(r) voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin, daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße" gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.


Bahndrehimpuls l=r×p

'Vektor'-Modell

Operatorenzuordnung pi, Separation der Wellenfunktionen ψnlm(r)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ) in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen Ylm(θ,ϕ) sind die Eigenfunktionen von l2 und lz mit den Eigenwerten l(l+1)2 und m.

l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
    s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung

l2Ylm(θ,ϕ)=(l+1)2Ylm(θ,ϕ)

m = -l, ... 0, ... +l
2l+1 Einstellmöglichkeiten


lzYlm(θ,ϕ)=mYlm(θ,ϕ)

Spin

Spin-Darstellung

Spin s,s=12

Ergebnis der relat. Quantenmechanik (Diractheorie). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten (Pauli-Prinzip). Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen, (z.B. d, α, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.

Gesamtdrehimpuls

Gesamtdrehimpuls j=l±12 "parallel" oder"antiparallel"

Gesamtdrehimpuls j=l+s eines einzelnen Nukleons j=l±12 ~ "parallel" oder"antiparallel"


Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten, wie beispielsweise in der Atomphysik die

LS-Kopplung mit L=li,S=si,L+S=I oder die
jj-Kopplung mit li+si=ji,j=I.


Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:

         (g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
         (u, u)   = 0, 1, 2, 3, ...


Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit jpi+jpk=0 bzw. jni+jnk=0 zu kompensieren.

Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne I(u,g)=I(g,gRumpf)+jPI(u,g)=jp

d. h. I(u, g) = Einzeldrehimpuls jp des letzten ungepaarten Protons Entsprechend 1(g,u)=jn Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten Neutrons.

Magnetisches Kerndipolmoment µI

Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.

Bahn

magnetisches Dipolmoment

magn. Dipolmoment = c1 Strome Fläche

μl=e2mcl=1cev2πrπr2 mit l=mrv
Bohrsches Magneton
m=m0 Elektron e2m0c=μb=0,927×1023J/T
Kernmagneton
m=mp Proton e2mpc=μK=0,505×1026J/T

Spin

Für s=12-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag

μs=e2mcs,s=12 Falsch!

Experimentell gilt allgemein

μs=ge2mcs g-Faktor

Dabei ist für das Elektron g=2 nach der Diractheorie bis auf kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton und Neutron erwartet man deshalb gp=2 und gn=0 (wegen fehlender Ladung). Die gemessenen Werte

gp=5,586 und
gn=3,826 zeigen jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" sind.

Die magnetischen Kerndipolmomente μI für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).

ANMERKUNG Schubotz: g-Faktor auch Lande Faktor gibt theoretisch für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls

Elektrisches Kernquadrupolmoment Q

Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder

Potential ϕ für p im Außenraum Δϕ=0

ϕ(r,θ)=14πϵ0n=0an1rn+1Pn(cosθ)

Legendre Polynome P0=1

P1=cosθPn(θ=0)=1P2=12+32cos2θ
Kugelgestalt des Kerns

Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten an erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für e=0 und Koeffizientenvergleich:

ϕ(r,θ=0)=14πϵ0n=0an1rn+11

oder direkt berechnet

ϕ(r,θ=0)=14πϵ0ρ(r)dτ|rr|=14πϵ0ρ(r)r'nrn+11rn+1Pncos(α)dτ mit 1|rr|=n=0an1rn+1Pncos(α).
an=ρ(r)r'nPncos(α)dτ
n=0
a0=ρ(r)dτ=Ze Punktladung
n=1
a1=ρ(r)rcos(α)dτ=0 elektrisches Dipolmoment in z=rcos(α)-Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
n=2
a2=ρ(r)r'2(12+32cos2α)=12ρ(r)(3z2r'2)dτ12eQ


Bei konstanter Ladungsverteilung ρ=ZeV ist deshalb Q=ZV(3z2r'2)dτ. Größenordnung: QπR21028m2 (lb) Vorzeichen:

Formen des Kernquadupolmoments

Ergänzende Infromationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

  • Äußere Eigenschaften eines Kerns
    • magnetische Momente (phänomenolog.), cl. Ladung und Multipolmomente -> empirische Befunde -> Modell inkopressibler Kernmaterie
  • Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
    • Drehimpulse + magnet. Momente von Kernen; was ist das + wie misst man das Modellvorstellung gg ,gu/ug, uu Experiment: Rabi Anwendung -> MRT