Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 5.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung. __SHOWFACTBOX__

Der Kerndrehimpuls I setzt sich aus den Bahndrehimpulsen $l_{i}$ und Spins $s_{i}$ der elnzelnen Nukleonen zusammen.

\vec{I} = \sum {\vec{l}}_{i} + {\vec{s}}_{i}

.

Bahndrehimpulse $l_{i}$ als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential $V = V (r)$ voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin, daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße" gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.

Bahndrehimpuls $l = r \times p$

Operatorenzuordnung $p \to \frac{ℏ}{i} \nabla$ , Separation der Wellenfunktionen $ψ_{n l m} (r) = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, ϕ)$ in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen $Y_{l m} (θ, ϕ)$ sind die Eigenfunktionen von $l^{2}$ und $l_{z}$ mit den Eigenwerten $l (l + 1) ℏ^{2}$ und $m ℏ$ .

l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
    s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung

$l^{2} Y_{l m} (θ, ϕ) = (l + 1) ℏ^{2} Y_{l m} (θ, ϕ)$

m = -l, ... 0, ... +l

\to 2 l + 1

Einstellmöglichkeiten

$l_{z} Y_{l m} (θ, ϕ) = m ℏ Y_{l m} (θ, ϕ)$

Spin

Spin $\vec{s}, s = \frac{1}{2}$

Ergebnis der relat. Quantenmechanik (Diractheorie). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten (Pauli-Prinzip). Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen, (z.B. d, $α$ , Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.

Gesamtdrehimpuls

Gesamtdrehimpuls $\vec{j} = \vec{l} + \vec{s}$ eines einzelnen Nukleons $j = l \pm \frac{1}{2}$ ~ "parallel" oder"antiparallel"

Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten, wie beispielsweise in der Atomphysik die

LS-Kopplung mit

\vec{L} = \sum {\vec{l}}_{i}, \vec{S} = \sum {\vec{s}}_{i}, \vec{L} + \vec{S} = \vec{I}

oder die

jj-Kopplung mit

{\vec{l}}_{i} + {\vec{s}}_{i} = {\vec{j}}_{i}, \sum \vec{j} = \vec{I}

.

Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:

         (g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
         (u, u)   = 0, 1, 2, 3, ...

Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit ${\vec{j}}_{p_{i}} + {\vec{j}}_{p_{k}} = 0$ bzw. ${\vec{j}}_{n_{i}} + {\vec{j}}_{n_{k}} = 0$ zu kompensieren.

Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne $\vec{I} (u, g) = \vec{I} (g, g - Rumpf) + {\vec{j}}_{P} \to \vec{I} (u, g) = {\vec{j}}_{p}$

d. h. I(u, g) = Einzeldrehimpuls ${\vec{j}}_{p}$ des letzten ungepaarten Protons Entsprechend $1 (g, u) = j_{n}$ Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten Neutrons.

Magnetisches Kerndipolmoment µ_I

Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.

Bahn

magn. Dipolmoment = $c^{- 1}$ Strome Fläche

$μ_{l} = \frac{e ℏ}{2 m c} \vec{l} = \frac{1}{c} \frac{e v}{2 π r} π r^{2}$ mit $ℏ l = m r v$
Bohrsches Magneton: $m = m_{0}$ Elektron $\frac{e ℏ}{2 m_{0} c} = μ_{b} = 0, 927 \times 1 0^{- 23} J / T$
Kernmagneton: $m = m_{p}$ Proton $\frac{e ℏ}{2 m_{p} c} = μ_{K} = 0, 505 \times 1 0^{- 26} J / T$

Spin

Für $s = \frac{1}{2}$ -Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag

μ_{s} = \frac{e ℏ}{2 m c} s, s = \frac{1}{2}

Falsch!

Experimentell gilt allgemein

μ_{s} = g \frac{e ℏ}{2 m c} s

g-Faktor

Dabei ist für das Elektron $g = - 2$ nach der Diractheorie bis auf kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton und Neutron erwartet man deshalb $g_{p} = 2$ und $g_{n} = 0$ (wegen fehlender Ladung). Die gemessenen Werte

g_{p} = 5, 586

und

g_{n} = - 3, 826

zeigen jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" sind.

Die magnetischen Kerndipolmomente $μ_{I}$ für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).

ANMERKUNG Schubotz: g-Faktor auch Lande Faktor gibt theoretisch für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls

Elektrisches Kernquadrupolmoment Q

Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder

Potential $ϕ$ für p im Außenraum $Δ ϕ = 0$

ϕ (r, θ) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{1}{r^{n + 1}} P_{n} (\cos θ)

Legendre Polynome $P_{0} = 1$

P_{1} = c o s θ P_{n} (θ = 0) = 1 P_{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^{2} θ

Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten $a_{n}$ erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für $e = 0$ und Koeffizientenvergleich:

ϕ (r, θ = 0) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{1}{r^{n + 1}} 1

oder direkt berechnet

ϕ (r, θ = 0) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}) d τ}{| r - r^{'} |} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}) r'^{n}}{r^{n + 1}} \frac{1}{r^{n + 1}} P_{n} \cos (α) d τ

mit

\frac{1}{| r - r^{'} |} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{1}{r^{n + 1}} P_{n} \cos (α)

.

a_{n} = \int ρ (r^{'}) r'^{n} P_{n} \cos (α) d τ

n=0: $a_{0} = \int ρ (r^{'}) d τ = Z e$ Punktladung
n=1: $a_{1} = \int ρ (r^{'}) r^{'} \cos (α) d τ = 0$ elektrisches Dipolmoment in $z = r^{'} \cos (α)$ -Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
n=2: $a_{2} = \int ρ (r^{'}) r'^{2} (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^{2} α) = \frac{1}{2} \int ρ (r^{'}) (3 z^{2} - r'^{2}) d τ \equiv \frac{1}{2} e Q$

Bei konstanter Ladungsverteilung $ρ = \frac{Z e}{V}$ ist deshalb $Q = \frac{Z}{V} \int (3 z^{2} - r'^{2}) d τ$ . Größenordnung: $Q \approx π R^{2} \approx 1 0^{- 28} m^{2}$ (lb) Vorzeichen:

Ergänzende Infromationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

Äußere Eigenschaften eines Kerns
- magnetische Momente (phänomenolog.), cl. Ladung und Multipolmomente -> empirische Befunde -> Modell inkopressibler Kernmaterie
Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
- Drehimpulse + magnet. Momente von Kernen; was ist das + wie misst man das Modellvorstellung gg ,gu/ug, uu Experiment: Rabi Anwendung -> MRT

Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

Inhaltsverzeichnis

Bahndrehimpuls $l = r \times p$

Spin

Gesamtdrehimpuls

Magnetisches Kerndipolmoment µ_I

Bahn

Spin

Elektrisches Kernquadrupolmoment Q

Ergänzende Infromationen

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Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

Bahndrehimpuls l=r×p

Spin

Gesamtdrehimpuls

Magnetisches Kerndipolmoment µI

Bahn

Spin

Elektrisches Kernquadrupolmoment Q

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Bahndrehimpuls $l = r \times p$

Magnetisches Kerndipolmoment µ_I