Alpha-Zerfall: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:05 Uhr

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Alpha-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 11.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Warum nicht p, n, d-, sondern α-Zerfall?

Grund: Die hohe Bindungsenergie E_α = 28 MeV bewirkt, daß diese Energie besonders für schwere Kerne (ab ca. 200U) oft größer ist als die Ablösearbeit von 2 Protonen und 2 Neutronen,

so daß $α$ -Zerfall energetisch möglich wird.

Warum nicht spontaner Zerfall in für Kernreaktionen typischen Zeiten von 10^-21 s?

Grund: Coulombbarriere, Tunneleffekt

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84208 Po: R [10^{- 15} m] = 1, 2 (\sqrt[3]{204} + \sqrt[3]{4}) = 1, 2 (5, 9 + 1, 6) \approx 9

V_{C} [M e V] \approx 1, 5 \frac{2 \times 82}{9} \approx 27

Tunneleffekt (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärferelation $Δ E Δ t \approx ℏ$ ". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:

$α$ -Zerfall vereinfachte Darstellung durch Rechteckbarriere

Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden A, B, C, D, F (A Normierung).

Transmission $T= \frac{| F |^{2}}{| A |^{2}} \underset{Rechnung}{=} {[1 + \frac{V_{c}^{2} (e^{K d} - e^{- K d})}{16 E (V_{0} - E)}]}^{- 1}$

Für "dicke" Barriere Kd >> 1 ist e^Kd der beherrschende Faktor, d.h. $T \approx e^{- 2 K d}$ . Für allgemeinen Potentialverlauf: $T \approx e^{- 2 G}$ mit Gamowfaktor $G = \int K d r$ , z. B. für Coulombpotential ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.

ANMERKUNG Schubotz: Vorgerechnet in ^[1]

G = \sqrt{\frac{2 m}{ℏ Q}} \frac{Z Z^{'} e^{2}}{4 π ϵ_{0}} \underset{Q ≪ B \to \sim \frac{π}{2}}{\underset{⏟}{[\arccos \sqrt{\frac{Q}{B}} - \sqrt{\frac{Q}{B} (1 - \frac{Q}{B})}]}}

Somit Übergangswahrscheinlichkeit A für α-Zerfall:

λ = λ_{0} e^{- 2 G}

mit

λ_{0}

"Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"

Zahl der Stöße

\approx \frac{v}{R} \approx \frac{10^{7} m / s}{10^{- 14}} \approx 10^{21} s^{- 1}

Experimentell

λ_{0} \approx 10^{18} - 10^{19} s^{- 1}

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

siehe lok. Maximum bei He in Darstellung der Bethe-Weizäcker Formel für E_B/A
Extraktion eines Schweren Kerns unwahrscheinlicher als durch Gamow-Faktor auszurechnen da sich mehr Nukleonen im Kerninneren zu einem gebilde mit passendem (N,Z) formieren müssen
- Z geht exponentiell in Wahrscheinlichkeit ein
- Experiment $14 C$ 10 counts in einem halben Jahr
Q-Wert Höhe des präformierten $α$ Teilches über dem Grudniveau des Potetntialtopfes

Prüfungsfragen

Frage zum $α$ -Zerfall (Gamow-Faktor mit Abhängikeiten). (Prof. Kanngießer)

↑ VLKP,??

[1] VLKP,??

[1]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=11|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-Warum nicht p, n, d-, sondern α-Zerfall?
+*Warum nicht p, n, d-, sondern α-Zerfall?
+;Grund: Die hohe {{FB|Bindungsenergie}} E<sub>α</sub> = 28 MeV bewirkt, daß diese Energie besonders für schwere Kerne (ab ca. 200U) oft größer ist als die {{FB|Ablösearbeit}} von 2 Protonen und 2 Neutronen,
-;Grund: Die hohe {{FB|Bindungsenergie}} E<sub>α</sub> = 28 MeV bewirkt, daß diese
-Energie besonders für schwere Kerne (ab ca. 200) oft größer
-ist als die Ablösearbeit von 2 Protonen und 2 Neutronen,
 so daß <math>\alpha</math>-Zerfall energetisch möglich wird.
+*Warum nicht spontaner Zerfall in für Kernreaktionen typischen Zeiten von 10<sup>-21</sup> s?
+;Grund: Coulombbarriere, Tunneleffekt
-Warum nicht spontaner Zerfall in für Kernreaktionen typischen Zeiten von 10<sup>-21</sup> s?
-Grund: Coulombbarriere, Tunneleffekt
 [[Datei:11.1.alpha.tunneleffekt.png|miniatur|hochkant=3|zentriert]]
+{{Beispiel|
+:<math>_{84}^{208}\text{Po: }R[{{10}^{-15}}m]=1,2\left( \sqrt[3]{204}+\sqrt[3]{4} \right)=1,2\left( 5,9+1,6 \right)\approx 9</math>
+:<math>{{V}_{C}}[MeV]\approx 1,5\frac{2\times 82}{9}\approx 27</math>
+}}
-<math>_{84}^{208}\text{Po: }R[{{10}^{-15}}m]=1,2\left( \sqrt[3]{204}+\sqrt[3]{4} \right)=1,2\left( 5,9+1,6 \right)\approx 9</math>
+{{FB|Tunneleffekt}} (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen {{FB|Energieunschärfe}}relation
-<math>{{V}_{C}}[MeV]\approx 1,5\frac{2\times 82}{9}\approx 27</math>
-Tunneleffekt (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärferelation
 <math>\Delta E \Delta t \approx \hbar</math>". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:
-[[Datei:11.2.alpha.wellenfunktion.png|miniatur|hochkant=2]]
+[[Datei:11.2.alpha.wellenfunktion.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|<math>\alpha</math>-Zerfall vereinfachte Darstellung durch Rechteckbarriere]]
-Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden
+Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden A, B, C, D, F (A Normierung).
-Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden
-A, B, C, D, F (A Normierung).
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 <math>\text{T=}\frac{|F{{|}^{2}}}{|A{{|}^{2}}}\underset{\text{Rechnung}}{\mathop{\text{=}}}\,{{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1 +}\frac{V_{c}^{2}\left( {{e}^{Kd}}-{{e}^{-Kd}} \right)}{16E\left( {{V}_{0}}-E \right)}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{-1}}</math>
-Rechnung
+Für "dicke" Barriere Kd >> 1 ist e<sup>Kd</sup> der beherrschende Faktor, d.h.
+<math>T \approx e^{- 2Kd}</math>. Für allgemeinen Potentialverlauf: <math>T \approx e^{- 2G}</math> mit {{FB|Gamowfaktor}} <math>G =\int Kdr</math>, z. B. für {{FB|Coulombpotential}} ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.
-Für "dicke" Barriere Kd = 1 ist e<sup>Kd</sup> der beherrschende Faktor, d.h.
+{{AnMS|Vorgerechnet in {{Quelle|VLKP|??}} <math>G=\sqrt{\frac{2m}{\hbar Q}}\frac{Z Z' e^2}{4 \pi \epsilon_0}\underbrace{\left[\arccos\sqrt\frac{Q}B- \sqrt{\frac{Q}{B}(1-\frac{Q}{B})}\right]}_{Q \ll B \to \sim \frac\pi2}</math>}}
-<math>T \approx e^{- 2Kd}</math>. Für allgemeinen Potentialverlauf: <math>T \approx e^{- 2G}</math> mit Gamowfaktor <math>G =\int Kdr</math>, z. B. für Coulombpotential ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.
 Somit '''Übergangswahrscheinlichkeit''' A für α-Zerfall:
-<math>\lambda=\lambda_0 e^{-2G}</math>
+:<math>\lambda=\lambda_0 e^{-2G}</math>
+::mit <math>\lambda_0</math> "Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"
+::Zahl der Stöße <math>\approx \frac{v}{R}\approx \frac{{{10}^{7}}m/s}{{{10}^{-14}}}\approx {{10}^{21}}{{s}^{-1}}</math>
+::Experimentell <math>{{\lambda }_{0}}\approx {{10}^{18}}-{{10}^{19}}{{s}^{-1}}</math>
-<math>\lambda_0</math> "Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"
+[[Datei:11.3.alpha.beispiele.entstehung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
-Zahl der Stöße
+==Weitere Informationen==
-<math>\approx \frac{v}{R}\approx \frac{{{10}^{7}}m/s}{{{10}^{-14}}}\approx {{10}^{21}}{{s}^{-1}}</math>
+(gehört nicht zum Skript)
+*siehe lok. Maximum bei He in Darstellung der Bethe-Weizäcker Formel für E_B/A
+*Extraktion eines Schweren Kerns unwahrscheinlicher als durch Gamow-Faktor auszurechnen da sich mehr Nukleonen im Kerninneren zu einem gebilde mit passendem (N,Z) formieren müssen
+**Z geht exponentiell in Wahrscheinlichkeit ein
+**Experiment <math>^{14}C</math> 10 counts in einem halben Jahr
+*Q-Wert Höhe des präformierten <math>\alpha</math> Teilches über dem Grudniveau des Potetntialtopfes
+[[File:Coulomb-Barriere.gif|Coulomb-Barriere]]
-Experimentell
+===Prüfungsfragen===
-<math>{{\lambda }_{0}}\approx {{10}^{18}}-{{10}^{19}}{{s}^{-1}}</math>
+Frage zum <math>\alpha</math>-Zerfall (Gamow-Faktor mit Abhängikeiten). (Prof. Kanngießer)
-[[Datei:11.3.alpha.beispiele.entstehung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
+<references />

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