Gamma-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Gamma-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 13.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

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$\gamma$-Zerfall

Erhaltungssätze

Energie

$E_i-E_k=\hslash \omega$

(genauer abzüglich der Rückstoßenergie E_R wegen

$P_i=0\to P_k=E/c\to E_R=p_k^2/2M=E^2/2m{c}^2$

z.B: $E=1MeV,A=50$ also $E_R\approx \frac{{\left({10}^{6}eV\right)}^2}{2\times 50\times {10}^{9}eV}\approx 10eV$

Drehimpuls

${\overrightarrow{I}}_i-{\overrightarrow{I}}_k=\overrightarrow{L}$ der vom $\gamma$-Quant weggeführte Drehimpuls, Multipolentwicklung

Parität

$P_i{P}_k=P_{str}$ Parität der entsprechenden Multipolstrahlung

Multipolordnung $2^L$:

L=1

Dipol

L=2

Quadrupol

L=3

Oktupol

...etc.

Elektrische und magnetische Multipole:

• E1 E2 E3 ...
• M1 M2 M3 ...

mit unterschiedlicher Parität:

• elektrische $E{1}^{-}E{2}^{+}E{3}^{-}\dots (-1{)}^L$
• magnetische $M{1}^{-}M{2}^{+}M{3}^{-}\dots (-1{)}^{L+1}$

Danach wird beispielsweise für den Übergang 2⁺ --> 0⁺ nur E2-Strahlung emittiert, während für einen $5/2^{-}\to 3/2^{+}$-Übergang theoretisch M4-, E3-, M2- und E1-Strahlung auftreten könnte. Da die Übergangswahrscheinlichkeit für wachsende Multipolordnung sehr stark abnimmt, kommt in der Praxis nur die niedrigste Ordnung - hier nur E1 - vor.

Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten

Allgemein für die pro zeiteinheit abgestrahlte Energie einer mit der Beschleunigung b bewegten Ladung e:

$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2e^2}{3c^3}{b}^2$

Für einen elektischen Dipol $er(t)=e{r}_0\cos \omega t$ gilt für die mittlere abgestrahlte Energie wegen $b={\omega }^2\cos \omega t$ und $b^2=\frac{1}{2}{\omega }^4{r}_0^2$

$\frac{d\overline{E}}{dt}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{3c^3}{\omega }^4{r}_0^2$

Die pro Zeiteinheit abgestrahlten photonen erhält man nach Division von $\hslash \omega$ zu:

$A=\frac{d\overline{E}}{dt}/\hslash \omega =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{3}\frac{1}{\hslash }{\left(\frac{\omega }{c}\right)}^3{\left(e{r}_0\right)}^2=\underset{\alpha =\frac{1}{137}}{\underbrace{\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{\hslash }}}\omega {\left(\frac{\omega r_0}{c}\right)}^2$

Für eine grobe Abschätzung ersetzt man $r_0$ durch den Kernradius R. Damit ist die entscheidende Größe $\frac{\omega R}{c}=\frac{R}{\lambda }$ das Verhältnis von Kernradius zur Wellenlänge/2$\pi$ der Strahlung. Mit $R\approx 1,2\sqrt[3]{A}10^{-15}m$ und $\overline{\lambda }\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$ ergibt sich für mittelschwere Kerne und $E\approx 1MeV$ für dieses Verhältnis $R/\lambda \approx 10^{-}2$. Wegen $\omega \approx 10^{21}{s}^{-1}$ für $E\approx 1MeV$ erhält man für die übergangswahrscheinlichkeit $A\approx \frac{1}{137}10^{21-4}{s}^{-1}\approx 10^{15}{s}^{-1}$. Für höhere elektrische Multipole wird der Faktor ${\left(\frac{\omega R}{c}\right)}^2$ durch ${\left(\frac{\omega R}{c}\right)}^{2L}$ ersetzt. Aufeinanderfolgende Multipolordnungen unterscheiden sich also bei $E\approx 1MeV$ um ca. 4 - 5 Größenordnungen.

Für magnetische Dipolstrahlung wird eR durch ${\mu }_K$ ersetzt. Magnetische und elektrische Dipolübergänge unterscheiden sich demnachbei den Übergangswahrscheinlichkeiten um den Faktor $({\mu }_K/eR{)}^2$. Aus der Unschärferelation $R{m}_v\approx \hslash$ erhält man für diesen Faktor ${(\frac{e\hslash }{2m_{p}c}/eR)}^2\approx {\left(\frac{v}{c}\right)}^2\approx {10}^{-2}-{10}^{-3}$. Für höhere magnetische Multipolordnungen wird ${\mu }_K$ durch ${\mu }_L\cdot R^{L-1}$ ersetzt, so daß dieser Faktor auch für höhere Multipolordnungen gilt. Zusammenfassend: $\begin{array}{rl}& \frac{A(ML)}{A(EL)}\approx {\left(\frac{v}{c}\right)}^2\\ & \frac{A(EL+1)}{A(EL)}\approx {\left(\frac{R}{\overline{\lambda }}\right)}^2\\ \end{array}$

Die experimentellen Werte sind für E1 um ca. $10^3-10^6$ langsamer, für E2 um ca $10^2$ schneller und für die übrigen Übergänge um ca. $10^1-10^2$ langsamer als die (Blatt-Weisskopf)-Abschätzungen.

Bei hohen Kernspindifferenzen zwischen den Übergangsniveaus ergeben sich sehr große Halbwertzeiten (sec <-> Jahre) des angeregten Niveaus (isomere Zustände). Sie häufen sich für Kerne mit Z oder N kurz vor Erreichen der magischen Zahlen 50, 82, 126.

Bei hohen Multipolordnungen und/oder kleinen Übergangsenergien tritt als Konkurrenzprozeß die innere Konversion in den Vordergrund, bei der statt eines $\gamma$-Quants ein Hüllenelektron mit $E=E_{\gamma }-E_B$ ($E_B$ Bindungsenergie) emittiert wird. Dieser Effekt entspricht dem Augereffekt in der Atomhülle.