Gamma-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Gamma-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 13.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung. __SHOWFACTBOX__

Erhaltungssätze

Energie: $E_{i} - E_{k} = ℏ ω$

(genauer abzüglich der Rückstoßenergie E_R wegen

P_{i} = 0 \to P_{k} = E / c \to E_{R} = p_{k}^{2} / 2 M = E^{2} / 2 m c^{2}

z.B: $E = 1 M e V, A = 50$ also $E_{R} \approx \frac{{(10^{6} e V)}^{2}}{2 \times 50 \times 10^{9} e V} \approx 10 e V$

Drehimpuls: ${\vec{I}}_{i} - {\vec{I}}_{k} = \vec{L}$ der vom $γ$ -Quant weggeführte Drehimpuls, Multipolentwicklung

Parität: $P_{i} P_{k} = P_{s t r}$ Parität der entsprechenden Multipolstrahlung

Multipolordnung $2^{L}$ :

L=1: Dipol
L=2: Quadrupol
L=3: Oktupol

...etc.

Elektrische und magnetische Multipole:

E1 E2 E3 ...
M1 M2 M3 ...

mit unterschiedlicher Parität:

elektrische $E 1^{-} E 2^{+} E 3^{-} \dots (- 1)^{L}$
magnetische $M 1^{-} M 2^{+} M 3^{-} \dots (- 1)^{L + 1}$

Danach wird beispielsweise für den Übergang 2⁺ --> 0⁺ nur E2-Strahlung emittiert, während für einen $5 / 2^{-} \to 3 / 2^{+}$ -Übergang theoretisch M4-, E3-, M2- und E1-Strahlung auftreten könnte. Da die Übergangswahrscheinlichkeit für wachsende Multipolordnung sehr stark abnimmt, kommt in der Praxis nur die niedrigste Ordnung - hier nur E1 - vor.

Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten

Allgemein für die pro zeiteinheit abgestrahlte Energie einer mit der Beschleunigung b bewegten Ladung e:

\frac{d E}{d t} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{2 e^{2}}{3 c^{3}} b^{2}

Für einen elektischen Dipol $e r (t) = e r_{0} \cos ω t$ gilt für die mittlere abgestrahlte Energie wegen $b = ω^{2} \cos ω t$ und $b^{2} = \frac{1}{2} ω^{4} r_{0}^{2}$

$\frac{d \bar{E}}{d t} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{e^{2}}{3 c^{3}} ω^{4} r_{0}^{2}$

Die pro Zeiteinheit abgestrahlten photonen erhält man nach Division von $ℏ ω$ zu:

A = \frac{d \bar{E}}{d t} / ℏ ω = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{3} \frac{1}{ℏ} {(\frac{ω}{c})}^{3} {(e r_{0})}^{2} = \underset{α = \frac{1}{137}}{\underset{⏟}{\frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{e^{2}}{ℏ}}} ω {(\frac{ω r_{0}}{c})}^{2}

Für eine grobe Abschätzung ersetzt man $r_{0}$ durch den Kernradius R. Damit ist die entscheidende Größe $\frac{ω R}{c} = \frac{R}{λ}$ das Verhältnis von Kernradius zur Wellenlänge/2 $π$ der Strahlung. Mit $R \approx 1, 2 \sqrt[3]{A} 1 0^{- 15} m$ und $\bar{λ} \approx 200 \times 1 0^{- 15} m / E [M e V]$ ergibt sich für mittelschwere Kerne und $E \approx 1 M e V$ für dieses Verhältnis $R / λ \approx 1 0^{-} 2$ . Wegen $ω \approx 1 0^{21} s^{- 1}$ für $E \approx 1 M e V$ erhält man für die übergangswahrscheinlichkeit $A \approx \frac{1}{137} 1 0^{21 - 4} s^{- 1} \approx 1 0^{15} s^{- 1}$ . Für höhere elektrische Multipole wird der Faktor ${(\frac{ω R}{c})}^{2}$ durch ${(\frac{ω R}{c})}^{2 L}$ ersetzt. Aufeinanderfolgende Multipolordnungen unterscheiden sich also bei $E \approx 1 M e V$ um ca. 4 - 5 Größenordnungen.

Für magnetische Dipolstrahlung wird eR durch $μ_{K}$ ersetzt. Magnetische und elektrische Dipolübergänge unterscheiden sich demnachbei den Übergangswahrscheinlichkeiten um den Faktor $(μ_{K} / e R)^{2}$ . Aus der Unschärferelation $R m_{v} \approx ℏ$ erhält man für diesen Faktor ${(\frac{e ℏ}{2 m_{p} c} / e R)}^{2} \approx {(\frac{v}{c})}^{2} \approx 10^{- 2} - 10^{- 3}$ . Für höhere magnetische Multipolordnungen wird $μ_{K}$ durch $μ_{L} \cdot R^{L - 1}$ ersetzt, so daß dieser Faktor auch für höhere Multipolordnungen gilt. Zusammenfassend: $\begin{matrix} \frac{A (M L)}{A (E L)} \approx {(\frac{v}{c})}^{2} \\ \frac{A (E L + 1)}{A (E L)} \approx {(\frac{R}{\bar{λ}})}^{2} \end{matrix}$

Die experimentellen Werte sind für E1 um ca. $1 0^{3} - 1 0^{6}$ langsamer, für E2 um ca $1 0^{2}$ schneller und für die übrigen Übergänge um ca. $1 0^{1} - 1 0^{2}$ langsamer als die (Blatt-Weisskopf)-Abschätzungen.

Bei hohen Kernspindifferenzen zwischen den Übergangsniveaus ergeben sich sehr große Halbwertzeiten (sec <-> Jahre) des angeregten Niveaus (isomere Zustände). Sie häufen sich für Kerne mit Z oder N kurz vor Erreichen der magischen Zahlen 50, 82, 126.

Bei hohen Multipolordnungen und/oder kleinen Übergangsenergien tritt als Konkurrenzprozeß die innere Konversion in den Vordergrund, bei der statt eines $γ$ -Quants ein Hüllenelektron mit $E = E_{γ} - E_{B}$ ( $E_{B}$ Bindungsenergie) emittiert wird. Dieser Effekt entspricht dem Augereffekt in der Atomhülle.

Gamma-Zerfall

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Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten

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