Gamma-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Gamma-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 13.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Gamma-Zerfall	Gamma-Zerfall
		Kernphysik Einleitung Abschirmung radioaktiver Strahlung Alpha-Zerfall Beta-Zerfall Gamma-Zerfall Neutrinoexperimente Paritätsverletzung beim beta-Zerfall Schwache Zerfälle von Pionen und Myonen Synchrotron- und Laserstrahlung Kernradien Bindungsenergien Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente Messung von Kernmomenten Das Schalenmodell des Kerns Kernkräfte Kernzerfälle, Strahlenschutz

Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

$\gamma$-Zerfall

Erhaltungssätze

Energie

${{E}_{i}}-{{E}_{k}}=\hbar \omega$

(genauer abzüglich der Rückstoßenergie E_R wegen

${{P}_{i}}=0\to {{P}_{k}}=E/c\to {{E}_{R}}=p_{k}^{2}/2M={{E}^{2}}/2m{{c}^{2}}$

z.B: $E=1MeV,\quad A=50$ also ${{E}_{R}}\approx {\frac {{\left({{10}^{6}}eV\right)}^{2}}{2\times 50\times {{10}^{9}}eV}}\approx 10eV$

Drehimpuls

${\vec {I}}_{i}-{\vec {I}}_{k}={\vec {L}}$ der vom $\gamma$-Quant weggeführte Drehimpuls, Multipolentwicklung

Parität

${{P}_{i}}{{P}_{k}}={{P}_{str}}$ Parität der entsprechenden Multipolstrahlung

Multipolordnung $2^{L}$:

L=1

Dipol

L=2

Quadrupol

L=3

Oktupol

...etc.

Elektrische und magnetische Multipole:

• E1 E2 E3 ...
• M1 M2 M3 ...

mit unterschiedlicher Parität:

• elektrische $E1^{-}E2^{+}E3^{-}\dots (-1)^{L}$
• magnetische $M1^{-}M2^{+}M3^{-}\dots (-1)^{L+1}$

Danach wird beispielsweise für den Übergang 2⁺ --> 0⁺ nur E2-Strahlung emittiert, während für einen $5/2^{-}\to 3/2^{+}$-Übergang theoretisch M4-, E3-, M2- und E1-Strahlung auftreten könnte. Da die Übergangswahrscheinlichkeit für wachsende Multipolordnung sehr stark abnimmt, kommt in der Praxis nur die niedrigste Ordnung - hier nur E1 - vor.

Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten

Allgemein für die pro zeiteinheit abgestrahlte Energie einer mit der Beschleunigung b bewegten Ladung e:

${\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {2{{e}^{2}}}{3{{c}^{3}}}}{{b}^{2}}$

Für einen elektischen Dipol $er(t)=er_{0}\cos \omega t$ gilt für die mittlere abgestrahlte Energie wegen $b=\omega ^{2}\cos \omega t$ und $b^{2}={\frac {1}{2}}\omega ^{4}r_{0}^{2}$

${\frac {d{\bar {E}}}{dt}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{e}^{2}}{3{{c}^{3}}}}{{\omega }^{4}}r_{0}^{2}$

Die pro Zeiteinheit abgestrahlten photonen erhält man nach Division von $\hbar \omega$ zu:

$A={\frac {d{\bar {E}}}{dt}}/\hbar \omega ={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{3}}{\frac {1}{\hbar }}{{\left({\frac {\omega }{c}}\right)}^{3}}{{\left(e{{r}_{0}}\right)}^{2}}=\underbrace {{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{e}^{2}}{\hbar }}} _{\alpha ={\frac {1}{137}}}\omega {{\left({\frac {\omega {{r}_{0}}}{c}}\right)}^{2}}$

Für eine grobe Abschätzung ersetzt man $r_{0}$ durch den Kernradius R. Damit ist die entscheidende Größe ${\frac {\omega R}{c}}={\frac {R}{\lambda }}$ das Verhältnis von Kernradius zur Wellenlänge/2$\pi$ der Strahlung. Mit $R\approx 1,2{\sqrt[{3}]{A}}10^{-15}m$ und ${\bar {\lambda }}\approx 200\times 10^{-15}m/E[MeV]$ ergibt sich für mittelschwere Kerne und $E\approx 1MeV$ für dieses Verhältnis $R/\lambda \approx 10^{-}2$. Wegen $\omega \approx 10^{21}s^{-1}$ für $E\approx 1MeV$ erhält man für die übergangswahrscheinlichkeit $A\approx {\frac {1}{137}}10^{21-4}s^{-1}\approx 10^{15}s^{-1}$. Für höhere elektrische Multipole wird der Faktor ${{\left({\frac {\omega R}{c}}\right)}^{2}}$ durch ${{\left({\frac {\omega R}{c}}\right)}^{2L}}$ ersetzt. Aufeinanderfolgende Multipolordnungen unterscheiden sich also bei $E\approx 1MeV$ um ca. 4 - 5 Größenordnungen.

Für magnetische Dipolstrahlung wird eR durch $\mu _{K}$ ersetzt. Magnetische und elektrische Dipolübergänge unterscheiden sich demnachbei den Übergangswahrscheinlichkeiten um den Faktor $(\mu _{K}/eR)^{2}$. Aus der Unschärferelation $Rm_{v}\approx \hbar$ erhält man für diesen Faktor ${{\left({\frac {e\hbar }{2{{m}_{p}}c}}/eR\right)}^{2}}\approx {{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}\approx {{10}^{-2}}-{{10}^{-3}}$. Für höhere magnetische Multipolordnungen wird $\mu _{K}$ durch $\mu _{L}\cdot R^{L-1}$ ersetzt, so daß dieser Faktor auch für höhere Multipolordnungen gilt. Zusammenfassend: ${\begin{aligned}&{\frac {A(ML)}{A(EL)}}\approx {{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}\\&{\frac {A(EL+1)}{A(EL)}}\approx {{\left({\frac {R}{\bar {\lambda }}}\right)}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die experimentellen Werte sind für E1 um ca. $10^{3}-10^{6}$ langsamer, für E2 um ca $10^{2}$ schneller und für die übrigen Übergänge um ca. $10^{1}-10^{2}$ langsamer als die (Blatt-Weisskopf)-Abschätzungen.

Bei hohen Kernspindifferenzen zwischen den Übergangsniveaus ergeben sich sehr große Halbwertzeiten (sec <-> Jahre) des angeregten Niveaus (isomere Zustände). Sie häufen sich für Kerne mit Z oder N kurz vor Erreichen der magischen Zahlen 50, 82, 126.

Bei hohen Multipolordnungen und/oder kleinen Übergangsenergien tritt als Konkurrenzprozeß die innere Konversion in den Vordergrund, bei der statt eines $\gamma$-Quants ein Hüllenelektron mit $E=E_{\gamma }-E_{B}$ ($E_{B}$ Bindungsenergie) emittiert wird. Dieser Effekt entspricht dem Augereffekt in der Atomhülle.