Symplektische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Seite wurde neu angelegt: „ <math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align} & \underline{q} \\ & \underline{p} \\ \end{align} \right) \right\}2f</math> Vektor der Ableitungen <ma…“ |
*>SchuBot K →Eigenschaften der Trafo: Kategorie |
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<math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align} | <math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align} | ||
& \underline{q} \\ | & \underline{q} \\ | ||
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Vektor der Ableitungen | Vektor der Ableitungen | ||
<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align} | :<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align} | ||
& {{\partial }_{q}}H \\ | & {{\partial }_{q}}H \\ | ||
& {{\partial }_{p}}H \\ | & {{\partial }_{p}}H \\ | ||
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Metrik im Phasenraum | Metrik im Phasenraum | ||
<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix} | :<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix} | ||
0 & 1 \\ | 0 & 1 \\ | ||
-1 & 0 \\ | -1 & 0 \\ | ||
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=symplektisches Skalarprodukt= | =symplektisches Skalarprodukt= | ||
<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\ | :<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math> | ||
Eigenschaften: | Eigenschaften: | ||
* schiefsymmetrisch | * schiefsymmetrisch | ||
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=erzeugende Kanonische Trafo= | =erzeugende Kanonische Trafo= | ||
<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math> | :<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math> | ||
analog | analog | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\ | & {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\ | ||
& {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\ | & {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\ | ||
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also Insgesamt | also Insgesamt | ||
<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math> | :<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math> | ||
mit | mit | ||
<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align} | :<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align} | ||
& \underline{Q} \\ | & \underline{Q} \\ | ||
& \underline{P} \\ | & \underline{P} \\ | ||
| Zeile 49: | Zeile 48: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\ | & {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\ | ||
& J={{M}^{T}}JM \\ | & J={{M}^{T}}JM \\ | ||
| Zeile 57: | Zeile 56: | ||
aus LA folgt | aus LA folgt | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\ | & \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\ | ||
& {{{\ | & {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||