Symplektische Struktur

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$\underline{ψ} := (\begin{matrix} \underline{q} \\ \underline{p} \end{matrix})} 2 f$

Vektor der Ableitungen

{\underline{H}}_{ψ} = (\begin{matrix} \partial_{q} H \\ \partial_{p} H \end{matrix})

Metrik im Phasenraum

\underline{\underline{J}} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

symplektisches Skalarprodukt

⟨ \underline{x}, \underline{y} ⟩ = {\underline{x}}^{T} \underline{\underline{J}} \underline{y}

Eigenschaften:

schiefsymmetrisch
bilinear
nicht entartet

erzeugende Kanonische Trafo

M_{1} (q, Q, t) : p = \partial_{q} M_{1}, P = \partial_{Q} M_{1} \Rightarrow \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}} = \frac{\partial^{2} M_{1}}{\partial Q_{k} \partial q_{i}} = - \frac{\partial P_{k}}{\partial q_{i}}

analog

\begin{matrix} M_{2} (q, P, t) \\ M_{3} (p, Q, t) \\ M_{4} (p, P, t) \end{matrix}

also Insgesamt

\underline{ψ} \underset{M}{\underset{⏟}{\to}} \underline{ϕ}

mit

\underline{ϕ} := (\begin{matrix} \underline{Q} \\ \underline{P} \end{matrix})} 2 f

Eigenschaften der Trafo

\begin{matrix} M^{- 1} = J^{- 1} M^{T} J \\ J = M^{T} J M \\ det (M) = 1 \end{matrix}

aus LA folgt

\begin{matrix} \underline{\dot{ϕ}} = M^{- 1} \underline{\dot{ψ}} \\ {\underline{H}}_{ϕ} = M^{T} {\underline{H}}_{ψ} \end{matrix}

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Mathematik