Rotierendes Pendel: Unterschied zwischen den Versionen

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  & \left( -1 \right)\left( a\omega \cos \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right) \right) \\
  & \left( -1 \right)\left( a\omega \cos \left( \omega t \right)+L\dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right) \right) \\
\end{align} \right)</math>dann ist
\end{align} \right)</math>dann ist
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & {{{\dot{x}}}^{2}}={{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \varphi  \right)-aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi  \right)\sin \left( \omega t \right)+ \\
   & {{{\dot{x}}}^{2}}={{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \varphi  \right)-aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi  \right)\sin \left( \omega t \right)+ \\
  & \quad \quad {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \varphi  \right)+aL\omega \dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right)\cos \left( \omega t \right) \\
  & \quad \quad {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t \right)+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \varphi  \right)+aL\omega \dot{\varphi }\sin \left( \varphi  \right)\cos \left( \omega t \right) \\
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


<math>\Rightarrow L=\frac{m}{2}\left( {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+aL\omega \dot{\varphi }\sin \left( \varphi -\omega t \right) \right)+mg\left( -a\sin \left( \omega t \right)+L\cos \left( \varphi  \right) \right)</math>
:<math>\Rightarrow L=\frac{m}{2}\left( {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}+{{L}^{2}}{{{\dot{\varphi }}}^{2}}+aL\omega \dot{\varphi }\sin \left( \varphi -\omega t \right) \right)+mg\left( -a\sin \left( \omega t \right)+L\cos \left( \varphi  \right) \right)</math>
b
b
Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:
Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}=\frac{\partial L}{\partial q}</math>also
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}=\frac{\partial L}{\partial q}</math>also
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{\varphi }}\,}=m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)</math>
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{\varphi }}\,}=m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)</math>
<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi }=\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)</math>
:<math>\frac{\partial L}{\partial \varphi }=\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)</math>
<math>\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)-m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
:<math>\frac{m}{2}aL\omega \dot{\varphi }\cos \left( \varphi -\omega t \right)-mgL\sin \left( \varphi  \right)-m{{L}^{2}}\ddot{\varphi }+\frac{m}{2}aL\omega \left( \dot{\varphi }-\omega  \right)\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \varphi -\omega t \right)+mgL\sin \left( \varphi  \right)-\frac{m}{2}aL{{\omega }^{2}}\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
:<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \varphi -\omega t \right)+mgL\sin \left( \varphi  \right)-\frac{m}{2}aL{{\omega }^{2}}\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
c
c
Für kleine Auslenkungen gilt:
Für kleine Auslenkungen gilt:
<math>\sin \left( \varphi  \right)\approx \varphi ,\quad \cos \left( \varphi -\omega t \right)\approx \cos \left( -\omega t \right)=\cos \left( \omega t \right)</math>
:<math>\sin \left( \varphi  \right)\approx \varphi ,\quad \cos \left( \varphi -\omega t \right)\approx \cos \left( -\omega t \right)=\cos \left( \omega t \right)</math>
<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\left( \varphi g-a{{\omega }^{2}}\frac{L\cos \left( \omega t \right)}{2} \right)=0</math>
:<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\left( \varphi g-a{{\omega }^{2}}\frac{L\cos \left( \omega t \right)}{2} \right)=0</math>
Mit <math>{{\omega }^{2}}a\ll g</math>folgt:
Mit <math>{{\omega }^{2}}a\ll g</math>folgt:
<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\varphi g=0\Leftrightarrow \ddot{\varphi }L-\dot{\varphi }a\omega \cos \left( \omega t \right)+\varphi g=0</math>
:<math>\ddot{\varphi }m{{L}^{2}}-\dot{\varphi }maL\omega \cos \left( \omega t \right)+mL\varphi g=0\Leftrightarrow \ddot{\varphi }L-\dot{\varphi }a\omega \cos \left( \omega t \right)+\varphi g=0</math>
Die (homogene) Lösung ist nun:
Die (homogene) Lösung ist nun:
<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)+g\varphi =0</math> nach komplexem Ansatz <math>\varphi \left( t \right)=c{{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \dot{\varphi }=c\lambda {{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \ddot{\varphi }=c{{\lambda }^{2}}{{e}^{\lambda t}}</math>
:<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)+ \frac{g} {L}\varphi =0</math> nach komplexem Ansatz <math>\varphi \left( t \right)=c{{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \dot{\varphi }=c\lambda {{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \ddot{\varphi }=c{{\lambda }^{2}}{{e}^{\lambda t}}</math>
Erhält man: <math>{{\lambda }^{2}}-\Omega \lambda +g=0\Rightarrow {{\lambda }_{1,2}}=\frac{\Omega }{2}\pm \sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g}</math>mit <math>\Omega =\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)</math>
Erhält man: <math>{{\lambda }^{2}}-\Omega \lambda +g=0\Rightarrow {{\lambda }_{1,2}}=\frac{\Omega }{2}\pm \sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g}</math>mit <math>\Omega =\frac{a}{L}\omega \cos \left( \omega t \right)</math>
Also ist die allgemeine Lösung <math>\varphi \left( t \right)={{c}_{1}}{{e}^{{{\lambda }_{1}}t}}+{{c}_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}=c{{e}^{\left( {{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}} \right)t}}</math>mit <math>{{c}_{1}}={{c}_{2}}^{*}=:c</math>
Also ist die allgemeine Lösung <math>\varphi \left( t \right)={{c}_{1}}{{e}^{{{\lambda }_{1}}t}}+{{c}_{2}}{{e}^{{{\lambda }_{2}}t}}=c{{e}^{\left( {{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}} \right)t}}</math>mit <math>{{c}_{1}}={{c}_{2}}^{*}=:c</math>
Der Realteil ist also <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{\Omega }{2}+i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)+b\sin \left( \frac{\Omega }{2}-i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)</math> nun ist aber <math>{{\omega }^{2}}a\ll g\Rightarrow {{\Omega }^{2}}\ll g</math> also ist <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)+\sqrt{g} \right)+b\sin \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)-\sqrt{g} \right)</math>
Der Realteil ist also <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{\Omega }{2}+i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)+b\sin \left( \frac{\Omega }{2}-i\sqrt{\frac{{{\Omega }^{2}}}{4}-g} \right)</math> nun ist aber <math>{{\omega }^{2}}a\ll g\Rightarrow {{\Omega }^{2}}\ll g</math> also ist <math>\varphi \left( t \right)=a\cos \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)+\sqrt{g} \right)+b\sin \left( \frac{a}{2L}\omega \cos \left( \omega t \right)-\sqrt{g} \right)</math>
<math>a,b</math>sind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.
:<math>a,b</math>sind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.
Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden
Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden
d
d
Mit <math>{{\omega }^{2}}a\gg g</math>folgt:
Mit <math>{{\omega }^{2}}a\gg g</math>folgt:
<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }m\frac{{{a}^{2}}\omega }{L}\cos \left( \varphi -\omega t \right)-\frac{a{{\omega }^{2}}}{2L}\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
:<math>\ddot{\varphi }-\dot{\varphi }m\frac{{{a}^{2}}\omega }{L}\cos \left( \varphi -\omega t \right)-\frac{a{{\omega }^{2}}}{2L}\cos \left( \varphi -\omega t \right)=0</math>
Zu schwer…
Zu schwer…


[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Mechanik]]

Aktuelle Version vom 22. Mai 2011, 12:21 Uhr

2 Rotierendes Pendel (12) a Lagrangefunktion L=TUmit T=12mx2und U=mgxyda das Koordinatensystem gedreht ist. x=(acos(ωt)+Lsin(φ)asin(ωt)+Lcos(φ))somit folgt x˙=(aωsin(ωt)+Lφ˙cos(φ)(1)(aωcos(ωt)+Lφ˙sin(φ)))dann ist

x˙2=a2ω2sin2(ωt)+L2φ˙2cos2(φ)aLωφ˙cos(φ)sin(ωt)+a2ω2cos2(ωt)+L2φ˙2sin2(φ)+aLωφ˙sin(φ)cos(ωt)=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙(sin(φ)cos(ωt)cos(φ)sin(ωt))=a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt)
L=m2(a2ω2+L2φ˙2+aLωφ˙sin(φωt))+mg(asin(ωt)+Lcos(φ))

b Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:

ddtLq=Lqalso
ddtLφ=mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt)
Lφ=m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ)
m2aLωφ˙cos(φωt)mgLsin(φ)mL2φ¨+m2aLω(φ˙ω)cos(φωt)=0
φ¨mL2φ˙maLωcos(φωt)+mgLsin(φ)m2aLω2cos(φωt)=0

c Für kleine Auslenkungen gilt:

sin(φ)φ,cos(φωt)cos(ωt)=cos(ωt)
φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mL(φgaω2Lcos(ωt)2)=0

Mit ω2agfolgt:

φ¨mL2φ˙maLωcos(ωt)+mLφg=0φ¨Lφ˙aωcos(ωt)+φg=0

Die (homogene) Lösung ist nun:

φ¨φ˙aLωcos(ωt)+gLφ=0 nach komplexem Ansatz φ(t)=ceλtφ˙=cλeλtφ¨=cλ2eλt

Erhält man: λ2Ωλ+g=0λ1,2=Ω2±Ω24gmit Ω=aLωcos(ωt) Also ist die allgemeine Lösung φ(t)=c1eλ1t+c2eλ2t=ce(λ1+λ2)tmit c1=c2*=:c Der Realteil ist also φ(t)=acos(Ω2+iΩ24g)+bsin(Ω2iΩ24g) nun ist aber ω2agΩ2g also ist φ(t)=acos(a2Lωcos(ωt)+g)+bsin(a2Lωcos(ωt)g)

a,bsind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.

Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden d Mit ω2agfolgt:

φ¨φ˙ma2ωLcos(φωt)aω22Lcos(φωt)=0

Zu schwer…