Rotierendes Pendel

2 Rotierendes Pendel (12) a Lagrangefunktion $L = T - U$ mit $T = \frac{1}{2} m {\overset{∙}{x}}^{2}$ und $U = - m g x_{y}$ da das Koordinatensystem gedreht ist. $\vec{x} = (\begin{matrix} a \cos (ω t) + L \sin (φ) \\ - a \sin (ω t) + L \cos (φ) \end{matrix})$ somit folgt $\vec{\dot{x}} = (\begin{matrix} - a ω \sin (ω t) + L \dot{φ} \cos (φ) \\ (- 1) (a ω \cos (ω t) + L \dot{φ} \sin (φ)) \end{matrix})$ dann ist

\begin{matrix} {\dot{x}}^{2} = a^{2} ω^{2} \sin^{2} (ω t) + L^{2} {\dot{φ}}^{2} \cos^{2} (φ) - a L ω \dot{φ} \cos (φ) \sin (ω t) + \\ a^{2} ω^{2} \cos^{2} (ω t) + L^{2} {\dot{φ}}^{2} \sin^{2} (φ) + a L ω \dot{φ} \sin (φ) \cos (ω t) \\ = a^{2} ω^{2} + L^{2} {\dot{φ}}^{2} + a L ω \dot{φ} (\sin (φ) \cos (ω t) - \cos (φ) \sin (ω t)) \\ = a^{2} ω^{2} + L^{2} {\dot{φ}}^{2} + a L ω \dot{φ} \sin (φ - ω t) \end{matrix}

\Rightarrow L = \frac{m}{2} (a^{2} ω^{2} + L^{2} {\dot{φ}}^{2} + a L ω \dot{φ} \sin (φ - ω t)) + m g (- a \sin (ω t) + L \cos (φ))

b Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen in dem man die Euler - Lagrangegleichung anwendet:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \overset{∙}{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}

also

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \overset{∙}{φ}} = m L^{2} \ddot{φ} + \frac{m}{2} a L ω (\dot{φ} - ω) \cos (φ - ω t)

\frac{\partial L}{\partial φ} = \frac{m}{2} a L ω \dot{φ} \cos (φ - ω t) - m g L \sin (φ)

\frac{m}{2} a L ω \dot{φ} \cos (φ - ω t) - m g L \sin (φ) - m L^{2} \ddot{φ} + \frac{m}{2} a L ω (\dot{φ} - ω) \cos (φ - ω t) = 0

\ddot{φ} m L^{2} - \dot{φ} m a L ω \cos (φ - ω t) + m g L \sin (φ) - \frac{m}{2} a L ω^{2} \cos (φ - ω t) = 0

c Für kleine Auslenkungen gilt:

\sin (φ) \approx φ, \cos (φ - ω t) \approx \cos (- ω t) = \cos (ω t)

\ddot{φ} m L^{2} - \dot{φ} m a L ω \cos (ω t) + m L (φ g - a ω^{2} \frac{L \cos (ω t)}{2}) = 0

Mit $ω^{2} a ≪ g$ folgt:

\ddot{φ} m L^{2} - \dot{φ} m a L ω \cos (ω t) + m L φ g = 0 \Leftrightarrow \ddot{φ} L - \dot{φ} a ω \cos (ω t) + φ g = 0

Die (homogene) Lösung ist nun:

\ddot{φ} - \dot{φ} \frac{a}{L} ω \cos (ω t) + \frac{g}{L} φ = 0

nach komplexem Ansatz

φ (t) = c e^{λ t} \Rightarrow \dot{φ} = c λ e^{λ t} \Rightarrow \ddot{φ} = c λ^{2} e^{λ t}

Erhält man: $λ^{2} - Ω λ + g = 0 \Rightarrow λ_{1, 2} = \frac{Ω}{2} \pm \sqrt{\frac{Ω^{2}}{4} - g}$ mit $Ω = \frac{a}{L} ω \cos (ω t)$ Also ist die allgemeine Lösung $φ (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} + c_{2} e^{λ_{2} t} = c e^{(λ_{1} + λ_{2}) t}$ mit $c_{1} = {c_{2}}^{*} = : c$ Der Realteil ist also $φ (t) = a \cos (\frac{Ω}{2} + i \sqrt{\frac{Ω^{2}}{4} - g}) + b \sin (\frac{Ω}{2} - i \sqrt{\frac{Ω^{2}}{4} - g})$ nun ist aber $ω^{2} a ≪ g \Rightarrow Ω^{2} ≪ g$ also ist $φ (t) = a \cos (\frac{a}{2 L} ω \cos (ω t) + \sqrt{g}) + b \sin (\frac{a}{2 L} ω \cos (ω t) - \sqrt{g})$

a, b

sind aus den Anfangsbedingungen zu wählen.

Das Pendel zeigt also immer Richtung Boden d Mit $ω^{2} a ≫ g$ folgt:

\ddot{φ} - \dot{φ} m \frac{a^{2} ω}{L} \cos (φ - ω t) - \frac{a ω^{2}}{2 L} \cos (φ - ω t) = 0

Zu schwer…

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