|
|
Zeile 144: |
Zeile 144: |
| also keine explizite Zeitabhängigkeit! | | also keine explizite Zeitabhängigkeit! |
| Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! | | Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! |
| Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
| | =====Schrödingerbild:===== |
| | Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math> |
| | zeitunabhängig |
| | Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> |
| | zeitunabhängig |
| | Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math> |
| | zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben): |
| | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> |
|
| |
|
| G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a>
| | Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> |
| | : |
|
| |
|
| dEJ3ST , [url=http://zbjwfnvtiwxh.com/]zbjwfnvtiwxh[/url], [link=http://tiwgdfqlvwfk.com/]tiwgdfqlvwfk[/link], http://qavqulsujcsd.com/
| | Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! |
| | Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! |
| | Im <math>{{R}^{2}}</math> |
| | entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math> |
| | einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) |
| | Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt: |
| | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> |
| | |
| | =====Das Heisenbergbild===== |
| | :<math>\begin{align} |
| | & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\ |
| | & {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\ |
| | \end{align}</math> |
| | |
| | In diesem Bild sind die |
| | Operatoren <math>{{\hat{F}}_{H}}(t)</math> |
| | zeitabhängig |
| | und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> |
| | zeitabhängig |
| | Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> |
| | zeitunabhängig: |
| | Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> |
| | : |
| | Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). |
| | Aus |
| | :<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> |
| | |
| | folgt: |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> |
| | |
| | Also: |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> |
| | (Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) |
| | Somit folgt für das Heisenbergbild: |
| | :<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> |
| | |
| | Insbesondere gilt: |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0</math> |
| | |
| | also die bildunabhängige Darstellung |
| | :<math>{{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}</math> |
| | |
| | Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig. |
| | =====Wechselwirkungsbild===== |
| | Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> |
| | |
| | mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> |
| | und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>. |
| | |
| | Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild: |
| | :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math> |
| | |
| | Somit gilt wieder die Relation |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> |
| | |
| | Also: |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math> |
| | |
| | Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math> |
| | bildunabhängig. |
| | Aber: |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math> |
| | im Allgemeinen |
| | :<math>\begin{align} |
| | & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ |
| | & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\ |
| | & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\ |
| | & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | \end{align}</math> |
| | |
| | Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder. |
| | :<math>\begin{align} |
| | & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ |
| | & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\ |
| | & wegen \\ |
| | & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\ |
| | & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | \end{align}</math> |
| | |
| | Aber: |
| | :<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> |
| | |
| | :<math>\begin{align} |
| | & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ |
| | \end{align}</math> |
| | |
| | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> |
| | |
| | Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian: |
| | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math> |
| | |
| | Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. |
| | Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. |
| | Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math> |
| | zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> |
| | |
| | und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> |
| | zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian |
| | Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> |
| | zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>. |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
Mit der formalen Lösung:
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
Also:
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ,
da im Allgemeinen:
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
folgt:
Also:
Denn:
Merke:
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte ,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Schrödingerbild:
Operatoren
zeitunabhängig
Eigenvektoren
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
Veranschaulichung im
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
Im
entspricht
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Das Heisenbergbild
In diesem Bild sind die
Operatoren
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
Aus
folgt:
Also:
(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
Insbesondere gilt:
also die bildunabhängige Darstellung
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Wechselwirkungsbild
Sei
mit dem ungestörten Hamiltonoperator
und der Störung .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
Somit gilt wieder die Relation
Also:
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
bildunabhängig.
Aber:
im Allgemeinen
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
Aber:
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator .