Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Betrachte die zeitabhängigen Zustände ${| Ψ ⟩}_{t}$

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} = \hat{H} {| Ψ ⟩}_{t}

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

{| Ψ ⟩}_{t} = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t} {| Ψ ⟩}_{0} = U (t, 0) {| Ψ ⟩}_{0}

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

U (t, 0) = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t)}^{n}

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{i}{ℏ} t)}^{n} {\hat{H}}^{n} {| Ψ ⟩}_{0} = \hat{H} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(- \frac{i}{ℏ} t)}^{n} {\hat{H}}^{n} {| Ψ ⟩}_{0} = \hat{H} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1!} {(- \frac{i}{ℏ} t)}^{n - 1} {\hat{H}}^{n - 1} {| Ψ ⟩}_{0}

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

Klar: $\begin{matrix} H^{+} = H \\ \Rightarrow U^{+} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(\frac{i}{ℏ} t)}^{n} {\hat{H}}^{n} \Rightarrow U^{+} U = 1 \end{matrix}$

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

{⟨ Ψ |}_{t} \hat{H} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {⟨ Ψ |}_{t}

Mit der formalen Lösung:

{⟨ Ψ |}_{t} = {⟨ Ψ |}_{0} e^{\frac{i}{ℏ} \hat{H} t} = {⟨ Ψ |}_{0} U^{+} (t, 0)

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über $\bar{A} (t)$ ergibt sich für

\hat{F} = \hat{F} (\hat{\bar{r}}, \hat{\bar{p}}, t)

⟨ \hat{F} ⟩ = {⟨ Ψ |}_{t} \hat{F} {| Ψ ⟩}_{t}

\begin{matrix} \frac{d}{d t} ⟨ \hat{F} ⟩ = \frac{d}{d t} {⟨ Ψ |}_{t} \hat{F} {| Ψ ⟩}_{t} = {⟨ Ψ |}_{t} \frac{\partial \hat{F}}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} + (\frac{\partial}{\partial t} {⟨ Ψ |}_{t}) \frac{d}{d t} \hat{F} {| Ψ ⟩}_{t} + {⟨ Ψ |}_{t} \hat{F} (\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t}) \\ (\frac{\partial}{\partial t} {⟨ Ψ |}_{t}) = - \frac{1}{i ℏ} {⟨ Ψ |}_{t} \hat{H} \\ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} \hat{H} {| Ψ ⟩}_{t} \end{matrix}

Also:

\frac{d}{d t} ⟨ \hat{F} ⟩ = \frac{d}{d t} {⟨ Ψ |}_{t} \hat{F} {| Ψ ⟩}_{t} = {⟨ Ψ |}_{t} \frac{\partial \hat{F}}{\partial t} + \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{F}] {| Ψ ⟩}_{t}

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:

[\hat{H}, \hat{F}] = 0 \Rightarrow \frac{d}{d t} ⟨ \hat{F} ⟩ = 0

Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei $F (\bar{q}, \bar{p}, t)$ eine klassische Observable und $H (\bar{q}, \bar{p})$ die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} F (\bar{q}, \bar{p}, t) = \frac{\partial}{\partial t} F (\bar{q}, \bar{p}, t) + \sum_{i = 1}^{3} (\frac{\partial F (\bar{q}, \bar{p}, t)}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial F (\bar{q}, \bar{p}, t)}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i}) \\ \frac{d}{d t} F (\bar{q}, \bar{p}, t) = \frac{\partial}{\partial t} F (\bar{q}, \bar{p}, t) + \sum_{i = 1}^{3} (\frac{\partial F (\bar{q}, \bar{p}, t)}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F (\bar{q}, \bar{p}, t)}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}) = \frac{\partial}{\partial t} F (\bar{q}, \bar{p}, t) + {H, F} \end{matrix}

Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:

{H, F} \to \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{F}]

Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von $F (\bar{q}, \bar{p}, t)$ " als Operator:

\hat{F}^{\circ} = \frac{\partial \hat{F}}{\partial t} + \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{F}]

Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für $\hat{F}$ ,

da im Allgemeinen:

\hat{F}^{\circ} \neq \frac{d \hat{F}}{d t}

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:

⟨ \hat{F}^{\circ} ⟩ = \frac{d}{d t} ⟨ \hat{F} ⟩

Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:

\begin{matrix} \hat{\bar{r}}^{\circ} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{\bar{r}}] \\ \hat{\bar{p}}^{\circ} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{\bar{p}}] \end{matrix}

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):

\begin{matrix} \partial_{t} \hat{\bar{r}} = 0 \\ \partial_{t} \hat{\bar{p}} = 0 \end{matrix}

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich

\hat{H} = \frac{{\hat{\bar{p}}}^{2}}{2 m} + V (\hat{\bar{r}})

folgt:

\begin{matrix} [\hat{H}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{p}}_{k}} \\ [\hat{H}, {\hat{p}}_{k}] = - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{x}}_{k}} \end{matrix}

Also:

\begin{matrix} \hat{\bar{r}}^{\circ} = \frac{\hat{\bar{p}}}{m} \\ \hat{\bar{p}}^{\circ} = - \nabla V (\hat{\bar{r}}) \end{matrix}

Denn:

\begin{matrix} [\hat{H}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{p}}_{k}} = \frac{ℏ}{i} {\hat{x}}_{k}^{\circ} \Rightarrow {\hat{x}}^{\circ} = \frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}} = \frac{\hat{p}}{m} \\ [\hat{H}, {\hat{p}}_{k}] = - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{x}}_{k}} \Rightarrow {\hat{p}}^{\circ} = - \frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}} = - \nabla V (\hat{x}) \end{matrix}

Merke:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} ⟨ \hat{\bar{r}} ⟩ = ⟨ {\hat{\bar{r}}}^{^{\circ}} ⟩ \\ \frac{d}{d t} ⟨ \hat{\bar{p}} ⟩ = ⟨ {\hat{\bar{p}}}^{^{\circ}} ⟩ \end{matrix}

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} ⟨ \hat{\bar{r}} ⟩ = \frac{1}{m} ⟨ \hat{\bar{p}} ⟩ \\ \frac{d}{d t} ⟨ \hat{\bar{p}} ⟩ = - ⟨ \nabla V (\hat{\bar{r}}) ⟩ \end{matrix}

da ja: $\begin{matrix} \partial_{t} \hat{\bar{r}} = 0 \\ \partial_{t} \hat{\bar{p}} = 0 \end{matrix}$

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen

Bilder

Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:

\begin{matrix} | Ψ ⟩ \to | Ψ \overset{´}{} ⟩ = U | Ψ ⟩ \\ \hat{F} \to \hat{F} \overset{´}{} = U \hat{F} U^{+} \end{matrix}

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte $\frac{\partial \hat{F}}{\partial t} = 0$ ,

also keine explizite Zeitabhängigkeit!

Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!

Schrödingerbild:

Operatoren ${\hat{F}}_{S} (\hat{\bar{r}}, \hat{\bar{p}})$ zeitunabhängig Eigenvektoren $| n ⟩$ zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $| Ψ ⟩$ zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} = \hat{H} {| Ψ ⟩}_{t}

Veranschaulichung im $R^{2}$

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im $R^{2}$ entspricht ${\hat{F}}_{S}$ einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:

{| Ψ ⟩}_{t} = U (t, 0) {| Ψ ⟩}_{0}

Das Heisenbergbild

\begin{matrix} ⟨ {\hat{F}}_{S} ⟩ = {⟨ Ψ |}_{t} {\hat{F}}_{S} {| Ψ ⟩}_{t} = {⟨ Ψ |}_{0} U^{+} (t, 0) {\hat{F}}_{S} U (t, 0) {| Ψ ⟩}_{0} \\ U^{+} (t, 0) {\hat{F}}_{S} U (t, 0) = {\hat{F}}_{H} (t) \end{matrix}

In diesem Bild sind die Operatoren ${\hat{F}}_{H} (t)$ zeitabhängig und damit Eigenvektoren $| n ⟩$ zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $| Ψ ⟩ = {| Ψ ⟩}_{0}$ zeitunabhängig: Veranschaulichung im $R^{2}$

Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus

{\hat{F}}_{H} (t) = e^{\frac{i}{ℏ} \hat{H} t} {\hat{F}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t}

folgt:

\frac{d}{d t} {\hat{F}}_{H} (t) = \frac{i}{ℏ} \hat{H} e^{\frac{i}{ℏ} \hat{H} t} {\hat{F}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t} + e^{\frac{i}{ℏ} \hat{H} t} {\hat{F}}_{S} (- \frac{i}{ℏ} \hat{H}) e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t}

Also:

\frac{d}{d t} {\hat{F}}_{H} (t) = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, {\hat{F}}_{H}]

(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild:

\hat{F} {^{\circ}}_{H} = \frac{d}{d t} {\hat{F}}_{H} (t) = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, {\hat{F}}_{H}]

Insbesondere gilt:

\frac{d}{d t} {\hat{H}}_{H} = 0

also die bildunabhängige Darstellung

{\hat{H}}_{H} = {\hat{H}}_{S} = \hat{H}

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.

Wechselwirkungsbild

Sei $\hat{H} = {\hat{H}}^{0} + {\hat{H}}^{1}$

mit dem ungestörten Hamiltonoperator ${\hat{H}}^{0}$ und der Störung ${\hat{H}}^{1}$ .

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:

{\hat{F}}_{W} (t) = e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {\hat{F}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t}

Somit gilt wieder die Relation

\frac{d}{d t} {\hat{F}}_{W} (t) = \frac{i}{ℏ} [{\hat{H}}^{0}, {\hat{F}}_{W}]

Also:

\frac{d}{d t} {\hat{H}}^{0} = 0

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian ${\hat{H}}^{0} = {\hat{H}}_{S} = {\hat{H}}_{H}$ bildunabhängig. Aber:

\frac{d}{d t} {\hat{H}}_{W} (t) = \frac{i}{ℏ} [{\hat{H}}^{0}, {\hat{H}}_{W}] = \frac{i}{ℏ} [{\hat{H}}^{0}, {\hat{H}}^{1}] \neq 0

im Allgemeinen

\begin{matrix} ⟨ {\hat{F}}_{S} ⟩ = {⟨ Ψ |}_{t} {\hat{F}}_{S} {| Ψ ⟩}_{t} = {⟨ Ψ |}_{t} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {\hat{F}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ {⟨ Ψ |}_{t} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} = {⟨ Ψ |}_{W} \\ e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {\hat{F}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} = {\hat{F}}_{W} (t) \\ e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{0} = {| Ψ ⟩}_{W} \\ ⟨ {\hat{F}}_{S} ⟩ = {⟨ Ψ |}_{W} {\hat{F}}_{W} (t) {| Ψ ⟩}_{W} \end{matrix}

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.

\begin{matrix} \Rightarrow \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{t} + e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{S} {| Ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{i ℏ} (- {\hat{H}}^{0} {| Ψ ⟩}_{W} + {\hat{H}}_{W} {| Ψ ⟩}_{W}) \\ w e g e n \\ e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {\hat{H}}_{S} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} = {\hat{H}}_{W} \\ e^{+ \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{t} = {| Ψ ⟩}_{W} \end{matrix}

Aber:

{\hat{H}}_{W} = {\hat{H}}^{0} + {\hat{H}}^{1}

\begin{matrix} \Rightarrow \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}^{1} {| Ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{W}^{1} {| Ψ ⟩}_{W} \end{matrix}

\frac{d}{d t} {\hat{F}}_{W} (t) = \frac{i}{ℏ} [{\hat{H}}^{0}, {\hat{F}}_{W}]

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:

{| Ψ ⟩}_{W} (t) = e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{1} t} {| Ψ ⟩}_{W} (0)

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren ${\hat{F}}_{W} (t)$ zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator ${\hat{H}}^{0}$

und damit Eigenvektoren $| n ⟩$ zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: ${| Ψ ⟩}_{W}$ zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator ${\hat{H}}_{W}^{1}$ .

Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Inhaltsverzeichnis

Bilder

Schrödingerbild:

Das Heisenbergbild

Wechselwirkungsbild

Navigationsmenü

Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Bilder

Schrödingerbild:

Das Heisenbergbild

Wechselwirkungsbild

Navigationsmenü

Suche