Der harmonische Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|6}}
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|6}}</noinclude>


Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator
Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator


<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>
:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>


Als Hamiltonoperator
Als Hamiltonoperator
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Es gilt die Vertauschungsrelation
Es gilt die Vertauschungsrelation


<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>
:<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>


Besser:
Besser:


<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>
:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>


Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)
Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
Zeile 35: Zeile 35:
Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:
Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
Zeile 45: Zeile 45:
Ebenso:
Ebenso:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\
& {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\
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Somit:
Somit:


<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>


Merke dazu:
Merke dazu:


<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
:<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>


Somit:
Somit:


<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>
:<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>


als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:
als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:


<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>
:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>


Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !
Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!


Weitere Vertauschungsrelationen:
Weitere Vertauschungsrelationen:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\
& \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\
Zeile 93: Zeile 93:
Ebenso die adjungierteVersion:
Ebenso die adjungierteVersion:


<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
:<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>


=====Verallgemeinerung=====
=====Verallgemeinerung=====
Zeile 105: Zeile 105:
für<math>n\ge 1</math>
für<math>n\ge 1</math>


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\
& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\
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'''Adjungierte Version:'''
'''Adjungierte Version:'''


<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>
:<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>


Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\
& \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\
Zeile 140: Zeile 140:
So gilt:
So gilt:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \hbar \omega \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\
& \hbar \omega \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\


& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle \ge 0 \\
& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi   | \Psi  \right\rangle \ge 0 \\


\end{align}</math>
\end{align}</math>
Zeile 150: Zeile 150:
Das bedeutet:
Das bedeutet:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\
& E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\
Zeile 162: Zeile 162:
'''Behauptung'''
'''Behauptung'''


<math>a\left| E \right\rangle </math>
:<math>a\left| E \right\rangle </math>


ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>
ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>
Zeile 174: Zeile 174:
'''Beweis:'''
'''Beweis:'''


<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>


Dabei gilt
Dabei gilt


<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>


wegen
wegen


<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>
:<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>


Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>
Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>
Zeile 198: Zeile 198:
Also definiere man einen Grundzustand:
Also definiere man einen Grundzustand:


<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>
:<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>


Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,


sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0


<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>


wegen
wegen


<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>
:<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>


Also:
Also:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\
& {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\
Zeile 222: Zeile 222:
Weiter:
Weiter:


<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>


Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation
Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation


<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
:<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>


Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>
Zeile 238: Zeile 238:
<u>'''Vollständige Induktion'''</u>
<u>'''Vollständige Induktion'''</u>


<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>


Dann:
Dann:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
Zeile 253: Zeile 253:


=====Normierung der Eigenzustände=====
=====Normierung der Eigenzustände=====
<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
:<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>


:
:
Zeile 259: Zeile 259:
Der Grundzustand sei normiert:
Der Grundzustand sei normiert:


<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>
:<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>


Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:


<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
:<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>


mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math>
mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math>
Zeile 269: Zeile 269:
:
:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}


& 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
& 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
Zeile 276: Zeile 276:


wegen
wegen
<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>
:<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>


Somit:
Somit:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\
Zeile 287: Zeile 287:
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:


<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0 \right|\left| 0 \right\rangle =n!</math>
:<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0 | 0 \right\rangle =n!</math>


Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
:<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
und diese gehören zu den Energiewerten
und diese gehören zu den Energiewerten
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\
& {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\
& \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle  \\
& \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle  \\
Zeile 299: Zeile 299:


<u>'''Quantensprechweise:'''</u>
<u>'''Quantensprechweise:'''</u>
<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant !
ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
<math>\left| n \right\rangle </math>
:<math>\left| n \right\rangle </math>
ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>
ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>


<math>a</math>
:<math>a</math>
ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
<math>{{a}^{+}}</math>
:<math>{{a}^{+}}</math>
der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle  \\
& a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle  \\
& {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle  \\
& {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle  \\
Zeile 314: Zeile 314:


=====Teilchenzahloperator=====
=====Teilchenzahloperator=====
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& N:={{a}^{+}}a \\
& N:={{a}^{+}}a \\
& N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle  \\
& N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle  \\
Zeile 320: Zeile 320:


In Übereinstimmung mit
In Übereinstimmung mit
<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>
:<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>


=====Veranschaulichung=====
=====Veranschaulichung=====
Zeile 326: Zeile 326:
dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit


Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
, also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
, wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
das <math>\sigma </math>
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des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
für die kohärenten / Glauber - Zustände
für die kohärenten / Glauber - Zustände
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände ( kohärente Zustände)
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)


=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden !
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
gilt:
gilt:
<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>
:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>


<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>


Dabei gilt: <math>\begin{align}
Dabei gilt: <math>\begin{align}
Zeile 353: Zeile 353:
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten !
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
Zeile 362: Zeile 362:
Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
folgt für n=0:
folgt für n=0:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
Zeile 368: Zeile 368:


Somit ergibt sich:
Somit ergibt sich:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
Zeile 376: Zeile 376:
enthalten ist.
enthalten ist.
<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
Zeile 382: Zeile 382:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt !
Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:
Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
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Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
und <math>{{H}_{n}}</math>
und <math>{{H}_{n}}</math>
bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
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Letztendlich bezeichnet
Letztendlich bezeichnet
<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>
die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>


Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:
Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:




Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.
.
 
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:25 Uhr




Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

H^=p^22m+mω22x^2

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

[p^,x^]=i

Besser:

[p^l,x^k]=iδkl

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

H^=12ω(aa++a+a)=12ω(a+a+1+a+a)=ω(a+a+12)

Merke dazu:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

E0=12ω

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

(aa+)a=1ωH^a+12a=a(a+a)=1ωaH^12a[a,H^]=aH^H^a=ωa

Ebenso die adjungierteVersion:

[a+,H^]=(aH^)´*(H^a)*=ωa+
Verallgemeinerung

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 [a,(a+)1]=1

Sei[a,(a+)n]=n(a+)n1=a+(a+)n

fürn1

[a,(a+)n+1]=a(a+)n+1(a+)n+1a=a(a+)n+1(a+)naa++(a+)naa+(a+)n+1a[a,(a+)n+1]=[a,(a+)n]a++(a+)n[a,a+][a,(a+)n]=n(a+)n1[a,(a+)n+1]=n(a+)n1a++(a+)n=(n+1)(a+)n

Adjungierte Version:

[a+,an]=n(a)n1=a(a)n

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

[a,f(a+)]=a+f(a+)[a+,f(a)]=af(a)
Eigenwerte von H

Sei |E

ein normierter Eigenvektor von H^

mit H^|E=E|E

So gilt:

ωE|a+a|E=E|H^ω2|E=E|Eω2|E=Eω2E|a+a|E=Ψ|Ψ0

Das bedeutet:

Eω2Eω2a|E=0

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

a|E

ist Eigenzustand zu H^

mit dem Eigenwert Eω

Also: H^a|E=(Eω)a|E

Beweis:

H^a|E=(aH^ω)a|E=a(H^ω)|E=a(Eω)|E=(Eω)a|E

Dabei gilt

H^a|E=(aH^ω)a|E

wegen

[a,H^]=ωa

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände |E0

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht Eω2

gelten würde.

Daher existiert ein mN

so dass am|E=0

aber am1|E0

Also definiere man einen Grundzustand:

|0:=am1|E

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

H^|0=ω(a+a+12)|0=12ω|0

wegen

a|0=am|E=0

Also:

E0=ω2a|0=am|E=0

Weiter:

H^a+|0=(a+H+ωa+)|0=a+(H^+ω)|0=a+(ω2+ω)|0=3ω2a+|0

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

[a+,H^]=ωa+

Das heißt nun aber, dass a+|0

der Eigenzustand von H^

zum Eigenwert 3ω2

ist.

Vollständige Induktion

H^(a+)n|0=ω(n+12)(a+)n|0

Dann:

H^(a+)n+1|0=(a+H^+ωa+)(a+)n|0=a+(H^+ω)(a+)n|0(H^+ω)(a+)n|0=(ω(n+12)+ω)(a+)n|0H^(a+)n+1|0=a+(H^+ω)(a+)n|0=ω(n+1+12)(a+)n+1|0
Normierung der Eigenzustände
(a+)n|0

Der Grundzustand sei normiert:

0|0=1

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

|n=αn(a+)n|0

mit Normierungsfaktor αn

1=!=n|n=|αn|20|an(a+)n|00|an(a+)n|0=0|an1((a+)na+[a,(a+)n])|0

wegen

[a,(a+)n]=n(a+)n1

Somit:

0|an(a+)n|0=0|an1((a+)na+[a,(a+)n])|0=0|an1(a+)na|0+n0|an1(a+)n1|00|an1(a+)na|0=0n0|an1(a+)n1a|0=n(n1)0|an2(a+)n2a|0...

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

0|an(a+)na|0=n!0|0=n!

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

|n=1n!(a+)n|0

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

En=ω(n+12)H^|n=En|n

Quantensprechweise:

EnEn1=ω(n+12)ω(n1+12)=ω

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!

|n

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz ω

a

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

a+

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

a|n=1n!a(a+)n|0=1n!{(a+)na+[a,(a+)n]}|0=1n!n(a+)n1|0=n|n1a+|n=1n!(a+)n+1|0=n+1|n+1
Teilchenzahloperator
N:=a+aN|n=a+a|n=a+n|n1=nn|n=n|n

In Übereinstimmung mit

H^|n=ω(a+a+12)|n=ω(n+12)|n
Veranschaulichung

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände |ϕ(x)|2 dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für σ=0,5σ02,

also mit einem σ<σ02,
wobei σ02

das σ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das σ=σ02 für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit ϕn(x)=x|n und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}
ξ^:=mω2x^ξ:=mω2x
a(x,iddx)ϕn(x)=1i2(ξ^+ddξ)ϕn(ξ)

Dabei gilt: ξ^:=mω2x^ξ:=mω2x sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In a(x,iddx)ϕn(x)=1i2(ξ^+ddξ)ϕn(ξ) wird über (ξ^+ddξ) der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz a|ϕ0=0 mit |ϕ0:=|0

Wegen a|0=0 folgt für n=0:

0=(ξ^+ddξ)ϕ0(ξ)dϕ0ϕ0=ξdξ

Somit ergibt sich:

ϕ0(ξ)=A0e(ξ22)A0=(mωπ)14

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in ξ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

ϕ1(ξ)=a+ϕ0(ξ)=1i2(ξddξ)ϕ0(ξ)=1i2e(ξ22)ddξ(e(ξ22)ϕ0(ξ))ϕ1(ξ)=1i2e(ξ22)ddξ(A0e(ξ2))A0=(mωπ)14

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:

ϕn(ξ)=(a+)nn!ϕ0(ξ)=1in2nn!(ξddξ)nϕ0(ξ)=1inA02nn!(1)ne(ξ22)dn(dξ)neξ2A02nn!:=AnA0=(mωπ)14(1)ne(ξ22)dn(dξ)neξ2:=Hn(ξ)eξ22

Dabei kann 1in als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und Hn bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

ϕn(ξ)=1inA02nn!(1)ne(ξ22)dn(dξ)neξ2ϕn(ξ)=(mωπ)14(2)nn!Hn(ξ)eξ22

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

H0(ξ)=1H1(ξ)=2ξH2(ξ)=4ξ22H3(ξ)=2ξ312ξ

Letztendlich bezeichnet

(1)n

die Parität von ϕn

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:


Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen Ylm(ϑ,ϕ).

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet r=|Ylm(ϑ,ϕ)|2 das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m