Der harmonische Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math> | :<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math> | ||
=====Verallgemeinerung===== | |||
'''Beweis: Vollständige Induktion:''' | |||
'''n=1 '''<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{1}} \right]=1</math> | |||
Sei<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}</math> | |||
für<math>n\ge 1</math> | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\ | |||
& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left[ a,{{a}^{+}} \right] \\ | |||
& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}} \\ | |||
& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}=\left( n+1 \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
'''Adjungierte Version:''' | |||
:<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math> | |||
Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\ | |||
& \left[ {{a}^{+}},f\left( a \right) \right]=-\frac{\partial }{\partial a}f\left( a \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
=====Eigenwerte von H===== | =====Eigenwerte von H===== | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
=====Normierung der Eigenzustände===== | |||
:<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math> | |||
: | |||
Der Grundzustand sei normiert: | |||
:<math>\left\langle 0 | 0 \right\rangle =1</math> | |||
Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand: | |||
:<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math> | |||
mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math> | |||
: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& 1=!=\left\langle n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\ | |||
& \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
wegen | |||
:<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math> | |||
Somit: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle \\ | |||
& \left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\ | |||
& \Rightarrow n\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}a\left| 0 \right\rangle =n\left( n-1 \right)\left\langle 0 \right|{{a}^{n-2}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-2}}a\left| 0 \right\rangle \Rightarrow ...\Rightarrow \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet: | |||
:<math>\Rightarrow \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle 0 | 0 \right\rangle =n!</math> | |||
Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor: | |||
:<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math> | |||
für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators | |||
und diese gehören zu den Energiewerten | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\ | |||
& \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Quantensprechweise:'''</u> | |||
:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math> | |||
ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant! | |||
:<math>\left| n \right\rangle </math> | |||
ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math> | |||
:<math>a</math> | |||
ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten | |||
:<math>{{a}^{+}}</math> | |||
der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten | |||
:<math>\begin{align} | |||
& a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle \\ | |||
& {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
=====Teilchenzahloperator===== | =====Teilchenzahloperator===== | ||
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:<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math> | ||
=====Veranschaulichung===== | |||
Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände <math>{{\left| \phi (x) \right|}^{2}}</math> | |||
dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit | |||
Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>, | |||
also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>, | |||
wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math> | |||
das <math>\sigma </math> | |||
des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: | |||
Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math> | |||
für die kohärenten / Glauber - Zustände | |||
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände) | |||
=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung===== | |||
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! | |||
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x | n \right\rangle </math> | |||
und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math> | |||
gilt: | |||
:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math> | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ | |||
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\ | |||
\end{align}</math> | |||
:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math> | |||
Dabei gilt: <math>\begin{align} | |||
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ | |||
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\ | |||
\end{align}</math> | |||
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! | |||
In <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math> | |||
wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math> | |||
der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. | |||
Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math> | |||
mit <math>\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left| 0 \right\rangle </math> | |||
Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math> | |||
folgt für n=0: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\ | |||
& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit ergibt sich: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\ | |||
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math> | |||
enthalten ist. | |||
<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u> | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\ | |||
& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\ | |||
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! | |||
Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\ | |||
& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\ | |||
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ | |||
& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math> | |||
als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden | |||
und <math>{{H}_{n}}</math> | |||
bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. | |||
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\ | |||
& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann): | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\ | |||
& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi \\ | |||
& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\ | |||
& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Letztendlich bezeichnet | |||
:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math> | |||
die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math> | |||
Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt: | |||
Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>. | |||
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math> | |||
das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. | |||
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. | |||
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m |
Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:25 Uhr
Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator
Als Hamiltonoperator
Es gilt die Vertauschungsrelation
Besser:
Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}
Merke:
Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}
Ebenso:
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}
Somit:
Merke dazu:
- Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}
Somit:
- Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}
als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:
Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!
Weitere Vertauschungsrelationen:
Ebenso die adjungierteVersion:
Verallgemeinerung
Beweis: Vollständige Induktion:
Adjungierte Version:
Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
Eigenwerte von H
ein normierter Eigenvektor von
So gilt:
Das bedeutet:
Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie
Behauptung
Beweis:
Dabei gilt
wegen
Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände
mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht
gelten würde.
Also definiere man einen Grundzustand:
Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
wegen
Also:
Weiter:
Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation
ist.
Vollständige Induktion
Dann:
Normierung der Eigenzustände
Der Grundzustand sei normiert:
Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
wegen
Somit:
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten
Quantensprechweise:
ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz
ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
Teilchenzahloperator
In Übereinstimmung mit
Veranschaulichung
Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für ,
also mit einem , wobei
das des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)
Zusammenhang mit der Ortsdarstellung
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:
- Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}
Dabei gilt: sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In wird über der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz mit
Somit ergibt sich:
Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:
Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
Dabei kann als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
Letztendlich bezeichnet
Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:
Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen .
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m