Zeitabhängige Störungsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}} | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}</noinclude> | ||
'''(Dirac)''' | '''(Dirac)''' | ||
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durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | ||
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> | Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann: | ||
linear entwickelt werden kann: | |||
:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | ||
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!) | |||
( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !) | |||
Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt: | Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt: | ||
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:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem) | :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem) | ||
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems: | Dabei gilt natürlich weiterhin die ''Orthonormierung'' und ''Vollständigkeit'' des Basissystems: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle n\acute{\ } | & \left\langle n\acute{\ } | n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\ | ||
& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=1 \\ | & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=1 \\ | ||
Zeile 37: | Zeile 34: | ||
<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum | <u>Annahme</u>: diskretes Spektrum | ||
Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert: | ||
nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert: | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Zeile 49: | Zeile 44: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand | Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>: | ||
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
Damit: | Damit: | ||
:<math>\left\langle n | :<math>\left\langle n | {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math> | ||
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet ( Einsetzen von | Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von | ||
:& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ | :<math>\begin{align} | ||
& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ | |||
& \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\ | & \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
in die Schrödingergleichung | in die Schrödingergleichung: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Zeile 78: | Zeile 74: | ||
Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird): | Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m | & i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m | n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle \\ | ||
& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ | & =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m | & \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m | n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Hilfreich ist die Definition eines | Hilfreich ist die Definition eines <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände: | ||
<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> | |||
:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math> | |||
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf! | |||
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf ! | |||
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden: | Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden: | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> | ||
mit | mit <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math> | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math> | |||
Setzt man dies ein, so folgt: | Setzt man dies ein, so folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ | & {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
und wegen | und wegen <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> also: | ||
<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> | |||
also: | |||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> | ||
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt: | Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt: | ||
Zeile 128: | Zeile 114: | ||
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>: | Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>: | ||
<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | ||
( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !) | (dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!) | ||
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> | Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> | ||
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fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet: | fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet: | ||
<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math> | :<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math> | ||
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde. | Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde. | ||
Zeile 144: | Zeile 130: | ||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ | & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ | ||
Zeile 152: | Zeile 138: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> | :<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> | ||
Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math> | Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math> | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> | ||
ebenso beidseitig entwickelt werden kann: | ebenso beidseitig entwickelt werden kann: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\ | & i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\ | ||
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: | : | ||
<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math> | :<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math> | ||
'''Für k=1''' | '''Für k=1''' | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | ||
Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math> | Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math> | ||
Zeile 201: | Zeile 187: | ||
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math> | Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math> | ||
. | |||
Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math> | |||
, | |||
die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | |||
. | |||
Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math> | |||
: | : | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | ||
Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math> | Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math> | ||
Zeile 216: | Zeile 202: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math> | ||
also: | also: | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math> | und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math> | ||
Zeile 226: | Zeile 212: | ||
kann formal integriert werden: | kann formal integriert werden: | ||
<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
'''Übergangswahrscheinlichkeit''' | '''Übergangswahrscheinlichkeit''' | ||
Zeile 236: | Zeile 222: | ||
vorliegt. | vorliegt. | ||
<math>{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle n | :<math>{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle n | n\acute{\ } \right\rangle \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math> | ||
'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet: | '''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet: | ||
<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math> | :<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math> | ||
für n=n0 | für n=n0 | ||
und | und | ||
<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math> | :<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math> | ||
für <math>n\ne {{n}_{0}}</math> | für <math>n\ne {{n}_{0}}</math> | ||
: | : | ||
== Zeitunabhängige Störung: == | == Zeitunabhängige Störung: == | ||
<math>\hat{V}=const.</math> | :<math>\hat{V}=const.</math> | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\ | & {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\ | ||
& {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\ | & {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\ | ||
Zeile 263: | Zeile 249: | ||
auf <math>\left| n \right\rangle </math> | auf <math>\left| n \right\rangle </math> | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | [[Datei:Sign squared.png]] | ||
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch): | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\ | & {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\ | ||
& \begin{matrix} | & \begin{matrix} | ||
Zeile 277: | Zeile 265: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\ | & {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\ | ||
& \begin{matrix} | & \begin{matrix} | ||
Zeile 286: | Zeile 274: | ||
Grafisch | Grafisch | ||
[[Datei:Sign squared.gif]] | |||
<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | :<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | ||
Für <math>t\to \infty </math> | Für <math>t\to \infty </math> | ||
Zeile 297: | Zeile 286: | ||
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation: | Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation: | ||
<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math> | :<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math> | ||
'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | '''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
auf <math>\left| n \right\rangle </math> | auf <math>\left| n \right\rangle </math>) | ||
: | |||
<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | :<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | ||
Mit dem Übergangsmatrixelement | Mit dem Übergangsmatrixelement | ||
<math>\left\langle n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>\left\langle n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> | ||
( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | ||
beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | ||
noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | ||
ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> | ||
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion ! | verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion! | ||
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. | Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. | ||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\delta }_{t}}\to \delta \\ | & {{\delta }_{t}}\to \delta \\ | ||
& f\ddot{u}r\quad t\to \infty \\ | & f\ddot{u}r\quad t\to \infty \\ | ||
Zeile 324: | Zeile 313: | ||
==Harmonische zeitabhängige Störung== | ==Harmonische zeitabhängige Störung== | ||
<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math> | :<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math> | ||
hermitesch ! | hermitesch! | ||
Es folgt: | Es folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | & {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\ | & \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\ | ||
Zeile 338: | Zeile 327: | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\ | & {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\ | ||
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\ | & +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\ | ||
Zeile 350: | Zeile 339: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\ | & \Rightarrow {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\ | ||
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\ | & +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\ | ||
Zeile 358: | Zeile 347: | ||
Weiter gilt | Weiter gilt | ||
<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math> | :<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math> | ||
Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math> | Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math> | ||
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math> | sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math> | ||
Zeile 365: | Zeile 354: | ||
Somit folgt für <math>t\to \infty </math> | Somit folgt für <math>t\to \infty </math> | ||
: | : | ||
<math>{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | :<math>{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | ||
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
Zeile 371: | Zeile 360: | ||
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten: | pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten: | ||
<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | :<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | ||
Die Terme lassen sich identifizieren: | Die Terme lassen sich identifizieren: | ||
<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math> | :<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math> | ||
steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math> | steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math> | ||
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
auf<math>\left| n \right\rangle </math> | auf<math>\left| n \right\rangle </math>, | ||
was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math> | |||
entspricht. | entspricht. | ||
Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
Zeile 385: | Zeile 374: | ||
gehievt | gehievt | ||
<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | :<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | ||
steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math> | steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math> | ||
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math> | bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math> | ||
auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>, | ||
was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math> | |||
entspricht. | entspricht. | ||
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
Zeile 395: | Zeile 384: | ||
herunter. | herunter. | ||
==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild== | |||
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63) | Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63) | ||
Im Wechselwirkungsbild gilt: | Im Wechselwirkungsbild gilt: | ||
<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math> | ||
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math> | Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math> | ||
Zeile 407: | Zeile 396: | ||
evolutionieren: | evolutionieren: | ||
<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> | ||
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung: | Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\ | & {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\ | ||
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | & {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
Zeile 419: | Zeile 408: | ||
liefert eine Iteration: | liefert eine Iteration: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | & {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | & {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
Zeile 425: | Zeile 414: | ||
Mit | Mit | ||
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | ||
und | und | ||
<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math> | :<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math> | ||
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild | Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild | ||
<u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild: | <u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{c}_{n}}(t)=\left\langle n | & {{c}_{n}}(t)=\left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\ | & \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\ | ||
& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\ | & {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\ | ||
Zeile 441: | Zeile 430: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 ! | In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113! |
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:46 Uhr
Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
(Dirac)
Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes aus der Schrödingergleichung
berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters linear entwickelt werden kann:
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:
Annahme: diskretes Spektrum
Die Entwicklung von nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand :
Damit:
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von
in die Schrödingergleichung:
Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):
Hilfreich ist die Definition eines mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
Setzt man dies ein, so folgt:
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines :
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von
fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
Dabei gilt:
Da aber die Differenzialgleichung für unsere
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung
durchgeführt werden und es folgt: :
Für k=1
bereits beidseitig gekürzt.
Beim Vergleich der Ordnungen von
muss man aufpassen.
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von .
Rechts dagegen hat man eine Ordnung von
,
die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch
.
Also hat man formal in erster Ordnung von
Somit:
also:
kann formal integriert werden:
Übergangswahrscheinlichkeit
Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand
zu finden, wenn zu t=0 der Zustand
vorliegt.
Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
für n=n0 und
Zeitunabhängige Störung:
Die Größe heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von auf
Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):
Also:
Grafisch Datei:Sign squared.gif
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von auf )
Mit dem Übergangsmatrixelement
und einer quadratischen Sinc- Funktion, (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie beschränkt, so lange deren Abweichung von noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um ab, für Quantenenergien, die von verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:
Harmonische zeitabhängige Störung
hermitesch!
Es folgt:
Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von auf
Weiter gilt
Für sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen und pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
Die Terme lassen sich identifizieren:
steht für die Absorption eines Quants der Energie bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von auf,
was einem Energiesprung von
entspricht. Das Quant wird also von Niveau auf gehievt
steht für die Emission eines Quants der Energie bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von auf,
was einer Energieabgabe von
entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau auf das Niveau herunter.
Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)
Im Wechselwirkungsbild gilt:
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit gewonnen, während die Zustände mit evolutionieren:
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
Für kleine liefert eine Iteration:
Mit
und
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild
Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:
In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!